Boole- formules en -functies wiskunde-interactief.be

Boole-formules en -functies

Met veranderlijken x, y, z, ... kunnen we uitdrukkingen opbouwen.
We noemen deze uitdrukkingen formules.
Met een Boole-formule als voorschrift, krijgen we Boole-functies.

x + y
In een waardentabel kunnen we alle waarden nagaan die de functie kan aannemen.
B.v. met de formule x + y krijgen we in een tabel:

disjuncte normaalvorm
Elke formule kunnen we zo schrijven dat elke veranderlijke er in voorkomt.
Deze schrijfwijze noemen we de disjuncte normaalvorm
Voor de formule x + y krijgen we:
x + y
= xy + xy + xy + xy 
= xy + xy + xy 

De disjuncte normaalvorm bestaat hier uit drie termen. Deze vinden we ook terug in de waardentabel.
® Uit een waardentabel kunnen we de disjuncte normaalvorm afleiden.
® Uit de disjuncte normaalvorm kunnen we een waardentabel afleiden.

algebraïsch vereenvoudigen van Boole-formules
Bij het ontwerpen van schakelingen willen we zo weinig mogelijk componenten gebruiken.
Dit komt neer op het vereenvoudigen van Boole-formules.
We kunnen dit doen door algebraïsch de eigenschappen van een Boole-algebra toe te passen:

v.b.: vereenvoudig de vorm x y z + x y z  + x y z +  x  y z +  x y z
(we nemen de eerste met de tweede term samen en ook de derde met de vierde)
= x z (y + y) +  y z (x + x ) +  x y z
(de som van de termen tussen haakjes is telkens 1
= x z  +  x y z  + y z
(als we de twee eerste termen samen nemen, valt de x uit de tweede term weg)
= x z  +  y z  + y z

Karnaugh-diagram

Een Boole-formule is vaak onoverzichtelijk.
Een interessant grafisch alternatief is het Karnaugh-diagram:
In een rooster voorzien we voor elke mogelijke combinatie van de variabelen een vakje.

met twee variabelen x en y krijgen we als mogelijkheden:

met drie variabelen x, y en z krijgen we als mogelijkheden:

De variabele z wordt gesplitst.
We voegen ze zo bovenaan in dat we de verschillende combinaties met x en z kunnen vormen.
Ook een vierde variabele kunnen we dan links gesplitst invoegen.
We noteren een Boole-formule in een diagram door een 1 te schrijven in elk overeenkomend vakje:
De vorm x y z + x y z  + x y z +  x  y z +  x y z   wordt dan:

vereenvoudigen van Boole-formules met een Karnaugh-diagram

We kunnen Karnaugh-diagrammen gebruiken om formules te vereenvoudigen:
De methode steunt op het samennemen van termen:
- grafisch: aaneengesloten blokjes met een 1 noteren we als één kortere term
- algebraïsch: x . y + x. y = x

In het diagram omcirkelen we de vakjes die we kunnen samennemen.
Merk wel op dat we b.v. de twee gesplitse z -kolommen als aaneensluitend moeten lezen:

We vormen drie blokjes van telkens 2 aaneengesloten vakjes.

De vereenvoudigde formule wordt: x z  +  y z  + y z.
Je merkt snel dat deze grafische methode veel handiger is dan
het stapsgewijze algebraïsch toepassen van eigenschappen.

 

naar startpagina naar sitemap  algebra van Boole schakelalgebra

formules en functies disjuncte normaalvorm formules vereenvoudigen Karnaugh diagram Karnaugh-vereenvoudigen

oefeningen