benaderen van nulpunten wiskunde-interactief.be
regula falsi
We kennen formules om de nulpunten van eerste- en tweedegraadsfuncties te
berekenen.
Voor hogere graden bestaan er geen algemene formules.
Wel ontwikkelden wiskundigen zgn. iteratiemethodes, waarbij men steeds eenzelfde
berekening herhaalt
tot een gewenste nauwkeurigheid bereikt is.
methode van
Bolzano
stelling van Bolzano
Als een functie f continu is in [a, b] en f(a) en f(b)hebben een verschillend teken,
dan is er binnen het interval [a, b ] minstens één punt c waarvoor f(c) =0.
Berekenen van nulpunten
We gebruiken de stelling van Bolzano om stapsgewijs de nulpunten van een
continue functie te benaderen.
- Neem links van een nulpunt een waarde x1 en rechts een waarde x2.
- Bereken het midden van x3 = (x1 + x2)/2 als
benadering van het nulpunt.
- Heeft f(x3) hetzelfde teken als f(x1), dan neem je [x3,
x2] als volgend interval,
heeft f(x3) hetzelfde teken als f(x2), dan neem je
[x1, x3] als volgend interval.
Neem het midden van dit interval als nieuwe benadering.
- Herhaal deze berekening en bepaal steeds het midden van een kleiner wordend
interval als nieuwe benadering.
Net zoals de methode van Bolzano, vertrekt ook de regula falsi
van een interval waarbij de functiewaarden van d(e
intervalgrenzen een verschillend teken hebben. Een nieuwe benadering bepaal je
als volgt:
- Bepaal de punten (x1, f(x1)) en (x2, f(x2)) en teken het
lijnstuk tussen beide punten.
- Neem als nieuwe benadering het snijpunt x3 van dit lijnstuk met de
x-as.
- Kijk naar het teken van f(x3) om het volgende interval te bepalen.
- Herhaal nu telkens de constructie
methode van Newton Raphson
Voor de methode van Newton-Raphson heb je maar een vertrekpunt
nodig.
Versleep de schuifknop in het applet en volg stapsgewijs de benadering:
- Bepaal het punt (x1, f(x1)).
- Construeer de raaklijn aan de grafiek in dit punt (x1, f(x1)).
- Bepaal het snijpunt van deze raaklijn met de x-as als nieuwe benadering.
- Herhaal deze constructie.
De methode van Newton-Raphson convergeert veel sneller dan
de methodes van Bolzano en de regula falsi.
Maar als je expirenteert met startpunt en/of functievoorschrift merk je snel dat
ze heel onstabiel kan zijn wanneer
raaklijnen aan verschillende kanten van extrema vallen.
Wijzig bijvoorbeeld de startwaarde voor x0 in 1.8 en kijk waar de
benaderingen naar toe schieten.