n-demachtswortels uit -1 wiskunde-interactief.be

Je kunt het probleem ook meetkundig bekijken.
x⁴ = -1 kan je schrijven als x . x . x . x = -1.
Complexe getallen vermenigvuldig je door hun moduli te vermenigvuldigen en hun argumenten op te tellen.
-1 schrijf je als het complexe getal -1 + o i en ligt op een eenheidscirkel met als modulus 1 en argument 180°.

We zoeken een complex getal zo dat de 4e macht van zijn modulus gelijk is aan 1.
Dat kan enkel als ook die modulus 1 is. Het getal x ligt dus ook op de eenheidscirkel.

We zoeken een complex getal met een argument zo dat 4x zijn argument gelijk is aan -1.
Zo kom je uit op een hoek van 45°, waarvan we de cosinus en sinus kennen..
 
We controleren in een applet zowel meetkundig als algebraisch of dat klopt.

Maar dit getal is niet de enige oplossing van de vergelijking.
4 . 45° = 180°, maar een punt op een goniometrische cirkel is niet uniek bepaald.
Het punt (-1, 0) komt meer algemeen overeen met een hoek van 180° + n. 360° (met n een natuurlijk getal).
Dus omgekeerd zouden we oplossingen moeten vinden voor volgende hoeken:

x³ = -1

Elk reeel getal heeft 1 reele oneven wortel.
In dit geval is het duidelijk dat x = -1 een oplossing is van de vergelijking.
Maar zijn er ook geen extra complexe oplossingen?
We proberen weer de meetkundige oplossing uit.
Een hoek gelijk aan 180° : 3 = 60° zou dan kunnen dienen als argument.
We kennen cosinus en sinus van 60° en kunnen dus berekenen of de oplossing klopt.
En analoog bekijken we welke andere hoeken voldoen.

De drie complexe wortels vormen nu de hoekpunten vormen van een gelijkzijdige driehoek.

x⁶ = -1

Benaderen we het probleem meetkundig, dan kan een hoek gelijk aan 180° : 6 = 30° dienen als argument.
We kennen cosinus en sinus van 30°, dus we kunnen weer berekenen of de oplossing klopt.
Daarna bekijken we of ook volgende hoeken voldoen

Je verwachtte het vermoedelijk al: de zes complexe wortels vormen de hoekpunten van een regelmatige zeshhoek.

x⁵ = -1

Net zoals x³ = -1 heeft ook deze vergelijking -1 als enige reele wortel, maar daar laten we het natuurlijk niet bij.
We vermoeden dat er ook dit keer extra complexe wortels zullen verschijnen.
180° : 5 = 36°.
Het is een hoek waarvan we niet zomaar cosinus of sinus van kennen, maar hoeft geen probleem te zijn.
We hebben intussen voldoende bagage om de vergelijking meetkundig op te lossen.

algemeen
vergelijkingen van de vorm xⁿ = -1 (met n een natuurlijk getal)
- hebben steeds 1 reele wortel als n oneven is en geen reele wortel als n even is,
- hebben steeds n wortels, als we ook de complexe wortels meerekenen.
- Deze wortels vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek in het complexe vlak.
- Het complexe getal met modulus 1 en argument 180° : n is steeds een wortel.
- De argumenten van andere wortels vind je als 180°/n + (360°/n) . k (met k van 1 tot n-1).
- Je kunt de complexe wortels noteren als cos (argument) + sin (argument) i.