vlakvullingen wiskunde-interactief.be

Inleiding
Een leuke toepassing op transformaties zijn vlakvullingen.
Met vierkante tegels kan je zonder probleem een vloer leggen zonder gaten.

Ook met regelmatige zeshoeken kan het, en ook gelijkzijdige driehoeken krijgen we in elkaar gepuzzeld.
Maar kan het met alle vlakke figuren?

Met een regelmatige vijf- of zevenhoek gaat het dus niet.
De reden is eenvoudig: de figuren moeten passen in een rooster.
In elk roosterpunt moeten we 360^o verdelen over de hoeken van de vlakken.

Bij een vierkant: 90o+ 90o+ 90o+ 90o = 360o	Bij een zeshoek: 120o + 120o + 120o = 360o

In een regelmatige n-hoek is de som van alle hoeken (n - 2 ) . 180^o

bij een regelmatige vijfhoek: hoekensom= 3 . 180 = 540o elke hoek is dus 540: 5 = 108o 360:108 = 3,333 3 vijfhoeken is net te weinig	bij een regelmatige zevenhoek: hoekensom= 5 . 180 = 900o elke hoek is dus 900: 7 = 128,57o 360:128,57 = 2,8 3 zevenhoeken is net te veel

Je kan ook met niet-regelmatige veelhoeken vlakvullingen maken:
bijvoorbeeld met rechthoeken, parallellogrammen of ruiten

Je kan het nog ingewikkelder patronen maken.
Roger Penrose verrichtte hierin baanbrekend werk.
Typ zijn naam maar eens in een zoekopdracht.

transformaties
Het kan natuurlijk ook een stuk creatiever. Je kan namelijk iets extra doen met je tegels.
Van een zijde maak je bijvoorbeeld een kromme of een grillig patroon.
Daarna verschuif je, spiegel je of roteer je deze zijde.
Hierdoor behoud je een vlakvulling, maar kan allerlei figuren cre?en.

verschuiving	spiegeling	rotatie	glijspiegeling (= spiegeling + verschuiving)

Kijk maar eens hoe deze transformaties worden toegepast in onderstaande animaties:

Je kan ook je basistegel in stukken verknippen en de stukken als een pentomino te verslepen.
(Ook dat is een onderwerp op zich).

Escher
Ronduit fantastisch zijn natuurlijk de vlakvullingen die Maurits Cornelis Escher (1898-1972) maakte.
Meer over Escher vind je op de officiële Eschersite : http://www.mcescher.nl/
Hier enkele mooie voorbeelden hoe Escher zijn vlakvullingen opbouwt.

vis

vliegende vis

 
salamander