reële getallen wiskunde-interactief.be
We kennen al verschillende getallenverzamelingen. In het onderstaande applet overlopen we ze:
● Bij het wandelen op een lijn kunnen we een afstand meten door de stappen te tellen: 1, 2, 3, 4, ...
N is de verzameling van alle natuurlijke getallen.
● We kunnen ook achteruit stappen. Bij zulke afstanden schrijven we een minteken.
Z is de verzameling van alle gehele getallen: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
● Door te schuifelen in plaats van te stappen, vullen we de ruimte tussen de gehele getallen op
met de 'rationale getallen'in de verzameling Q en de 'reële getallen'in de verzameling R
Deze laatste verzameling bevat naast de rationale getallen ook de decimale getallen die je niet als breuk kan schrijven..
Getallen die niet als een breuk kunnen geschreven worden, noemen we irrationaal.
|
|R, de verzameling van reële getallen,
bestaat uit alle natuurlijke, gehele, rationale en irrationale getallen |
irrationale
getallen op een getallenas
Gehele getallen kunnen we eenvoudig voorstellen op een getallenas
door te tellen.
Voor reële getallen is dit niet zo eenvoudig, maar voor sommige irrationale getallen kennen we constructies.
Zo kunnen we √2,
√3 of √5
exact plaatsen met de stelling van Pythagoras.
We tekenen een rechthoekige driehoek, met als lengte van de rechthoekszijden =
1.
Volgens de stelling van Pythagoras vinden we voor de lengte van de schuine zijde:
|schuine zijde|² = 1² + 1² = 2
|schuine zijde| = √2
Zo kunnen we exact een lijnstuk [BC] tekenen met lengte
√2,
ook al is √2 een irrationaal getal.
We kunnen ook nog verder gaan en lijnstukken tekenen met een lengte van
√3, √4 ,
√5 , enz...
Voor de meeste getallen (zoals het bekende π
) bestaan er echter geen exacte constructies.
Som en verschil van kwadraten
Sommige wortelvormen kan je afleiden uit de som van twee kwadraten:
Andere wortelvormen kan je afleiden uit het verschil van twee kwadraten: