stelsels van vgln van de eerste graad wiskunde-interactief.be

stelsels van twee vergelijkingen met twee onbekenden

Een vergelijking van de vorm ax + by = c  is  de vergelijking van een rechte.
Er zijn ontelbare coördinatenkoppels die voldoen aan deze vergelijking.

In een stelsel voegen we twee (of meer) dergelijke vergelijkingen samen.
Bij het oplossen zoeken we voor welke waarden van x en y de beide vergelijkingen kloppen.
Vul in de vakjes willekeurige waarden in en klik vervolgens op de knop ' los op' .

Grafische oplossing van een stelsel
Grafisch vinden we de oplossing als het snijpunt van twee rechten.
 

Niet elk stelsel heeft juist één bepaalde oplossing . Er zijn drie mogelijkheden:

Als twee rechten elkaar snijden	? is er geen oplossing is er 1 oplossing zijn er oneindig veel oplossingen		Het stelsel is	? onbepaald bepaald vals
Als twee rechten evenwijdig lopen	? is er geen oplossing is er 1 oplossing zijn er oneindig veel oplossingen		Het stelsel is	? onbepaald bepaald vals
Als twee rechten samenvallen	? is er geen oplossing is er 1 oplossing zijn er oneindig veel oplossingen		Het stelsel is	? onbepaald bepaald vals

 

Oplossen van stelsels
Volgend bestand illustreert de strategie bij het oplossen van stelsels.

Stapsgewijs vervangen we telkens een van de twee vergelijkingen tot we twee vergelijkingen overhouden
van de vorm x = a en y = b.
Stelsels die dezelfde oplossing bepalen, noemen we gelijkwaardige stelsels.
Stelsels leren oplossen komt dus neer op volgende vraag beantwoorden:
"Op welke manier kunnen we een rechte bepalen die dezelfde oplossing bevat?"
De regels hiervoor noemen we gelijkwaardigheidsbeginsels.





Gelijkwaardigheidsbeginsel:
som van vergelijkingen
 
We stellen vast:
- Wanneer we de twee vergelijkingen bij elkaar optellen krijgen we een nieuwe vergelijking.
- Deze derde vergelijking gaat ook door het snijpunt van de originele vergelijkingen.
- Een stelsel gevormd door een van de twee originele vergelijkingen en de som van de twee vergelijkingen
  heeft dezelfde oplossing als het originele stelsel.

Maar waarom zouden we dit doen?
De som van de twee vergelijkingen in het stelsel is de vergelijking 6x = 12, of vereenvoudigd: x = 2.
We kennen dus meteen de de waarde van x in de oplossing.
 

Gelijkwaardigheidsbeginsel:
vermenigvuldigen van de termen van een vergelijking
De grafiek die overeenkomt met de vergelijking van een rechte wijzigt niet wanneer we alle termen van
deze vergelijking vermenigvuldigen met een reëelgetal, verschillend van 0.
Het blijft dezelfde rechte.

Rekenkundige methodes om stelsels op te lossen werken steunen op deze gelijkwaardigheidsbeginsels.
We vervangen stap na stap een van de vergelijkingen door een andere vergelijking die ook door de oplossing gaat.
We gebruiken twee oplossingsmethodes: substitutiemethode en combinatiemethode.