meetkundige rijen wiskunde-interactief.be
In een meer bedekken rivierplanten een oppervlakte van 3m2.
Deze oppervlakte verdubbelt wekelijks.
Hoe groot is deze oppervlakte na 1, 2, 3, ... weken?
| Een meetkundige rij is een rij getallen
waarvan elke term (verschillend van de eerste) gelijk is aan
de vorige, vermenigvuldigd met eenzelfde getal. De reden van een meetkundige rij is het getal waarmee we een term vermenigvuldigen om de volgende term te krijgen. un+1 = un . q |
n-de term van een meetkundige rij
u1 |
. q → |
u2 |
. q → |
u3 |
. q → |
u4 |
. q → |
... |
. q → |
un |
We stellen vast:
u2 =
u1 . q
u3 = u2 . q = u1 . q
. q = u1 . q2
u4 = u3 . q = u1 . q2
. q = u1 . q3
Dus ook:
u75 = u1 . q74
| un , de n-de term van een meetkundige rij
met reden q vinden we steeds als: un = u1 . qn-1 |
Merk op dat u5 = u3 . q2
Als bijvoorbeeld enkel u3 = 12 en u5 = 48 gegeven zijn,
kunnen we toch q en u1 van de meetkundige rij berekenen.
48/12 = 4 = q2
zodat q = 2
u1 = u3 / 22 = u3 / 4
u1 = 12 / 4 = 3
som sn van de eerste n termen van een meetkundige rij
Voorbeeld
Bereken de som s8 van de eerste 8 termen van volgende
rij: 3 6 12 24
48 96 192 384 ...
| s8 = 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 ( 1 ) |
We vermenigvuldigen met de reden ( q = 2) en krijgen:
| 2 . s8 = 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 + 768 ( 2 ) |
Het verschil van beide sommen (2) - (1) wordt:
Er
blijven slechts 2 termen over: 3 en -768.
3 is de eerste term (u1)
768 is gelijk aan de achtste term 384
(u8), vermenigvuldigd met de reden 2 (= q)
We vinden dus als resultaat:
s8 - q . s8 = u1 - u8 . q
We weten dat t8= u1 . q7,
zodat
(1 - q) . s8 = u1 - u1 . q7 .
q
(1 - q) . s8 = u1 - u1 . q8
We brengen t1 buiten
haakjes:
(1 - q) . s8 = u1 . (1 - q8 )
| Zodat de som van de eerste 8 termen s8 = u1 . |
|
Algemeen:
sn, de som van de eerste n
termen van een meetkundige rij met reden q berekenen we met de
formule:
|
|
meetkundige rijen |