rekenkundige rijen wiskunde-interactief.be
Deze getallen vormen een rij.| Een rekenkundige rij is een rij getallen
waarvan elke term (verschillend van de eerste) gelijk is aan
de vorige, vermeerderd met eenzelfde getal. Het verschil ( = v ) van een rekenkundige rij is het getal dat we bij een term optellen om de volgende term te krijgen. un+1 = un + v |
n-de term van een rekenkundige rij
u1 |
+ v → |
u2 |
+ v → |
u3 |
+ v → |
u4 |
+ v → |
... |
+ v → |
un |
We stellen vast:
u2 = u1 + v
u3 = u2 + v = u1 + 2v
u4 = u3 + v = u1 + 3v
Dus ook:
u75 = u1 + 74v
|
un,
de n-de term van een rekenkundige rij
met verschil v vinden we steeds als: |
Merk op dat u5 = u3 + 2 . v
Als bijvoorbeeld enkel u3 = 22 en u5 = 30 gegeven zijn,
kunnen we toch v en u1 van de rekenkundige rij berekenen.
30 - 22 = 8 = 2 . v
zodat v = 4
u1 = u3 - 2 . v
u1 = 22 - 8 = 14
som sn van de
eerste n termen van een rekenkundige rij
Wat is de som van de eerste n natuurlijke getallen?
Voorbeeld 1
Bereken de som s10 van de eerste 10 termen van volgende
rij:
3 5 7 9
11 13 15 17
19 21 ...
| 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
| 21 | 19 | 17 | 15 | 13 |
| 24 | 24 | 24 | 24 | 24 |
De sommen van de eerste en de laatste term, de tweede en de voorlaatste term,
... zijn gelijk.
De gevraagde som s10 is dus gelijk aan 5
. 24 = 120.
Voorbeeld 2
Bereken de som s7 van de eerste 7 termen van volgende rij:
35 52 69 86
103 120 137
Bij een oneven aantal termen kunnen we de rij niet splitsen in sommen van
twee termen.
We schrijven nu gewoon de rij twee keer onder elkaar, maar dan in omgekeerde
volgorde.
Dan berekenen we weer de som van de termen onder elkaar:
De som van beide rijen is gelijk aan 7 keer 172.
Dus: 2 . s7 = 7 . 172 (hierbij is 172 gelijk aan de som van
de eerste en de 7de term)
| Zodat de som van de eerste 7 termen s7 = |
|
| sn, de som van de eerste n termen van een
rekenkundige rij is gelijk aan n maal het gemiddelde van de eerste en de laatste term.
|
|
rekenkundige rijen |