som- en verschilformules wiskunde-interactief.be

cos(α - β )
Op een goniometrische cirkel bepalen de punten P en Q de hoeken α en β.
We kunnen de lengte van het lijnstuk |PQ| berekenen
- links: met de cosinusregel als de zijde van een willekeurige driehoek
- rechts: met de afstandsformule, want we kennen de coördinaten van P en Q.

|PQ|² = |OP|²  + |OQ|² - 2 |OP|. |OQ| . cos(α - β ) de straal van een goniometrische cirkel = 1, dus |PQ|² =    1     +     1    - 2 .  1  .   1    . cos(α - β ) |PQ|² =    2   - 2 . cos(α - β )

|PQ|² = (cos α - cos β )²  + (sin α - sin β )² |PQ|² = cos² α - 2.cos α. cos β + cos² β            + sin² α - 2.sin α. sin β + sin² β we herschikken de termen: |PQ|² = cos² α + sin² α + cos² β + sin² β             - 2.cos α. cos β  - 2.sin α. sin β we passen de formule toe: cos² α + sin² α= 1   |PQ|² = 1 + 1 - 2.cos α. cos β  - 2.sin α. sin β |PQ|² = 2 - 2.cos α. cos β  - 2.sin α. sin β |PQ|² = 2 - 2.(cos α. cos β + sin α. sin β)

wanneer we beide berekeningen aan elkaar gelijkstellen, krijgen we : 2 - 2 cos(α - β ) = 2 - 2.(cos α. cos β + sin α. sin β) - 2 cos(α - β ) = - 2.(cos α. cos β + sin α. sin β) cos(α - β ) = cos α. cos β + sin α. sin β meteen hebben we een formule voor het verschil van twee hoeken

cos(α + β )
α + β = α - ( - β )
Hierop kunnen we de verschilformule voor cosinus toepassen:
cos(α - (-β) ) = cos α. cos (-β) + sin α. sin (-β)
Tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinus en tegengestelde sinus:
cos(α + β ) = cos α. cos β - sin α. sin β

sin(α + β )
We steunen op de eigenschap van complementaire hoeken: sin α = cos ( π/2 - α )
sin ( α + β ) = cos  ( π/2 -( α + β ) )
We werken nu de haakjes van het rechterlid uit:
sin ( α + β ) = cos  ( π/2 - α - β ) )
We mogen haakjes invoeren als volgt:
sin ( α + β ) = cos  ( (π/2 - α) - β ) )
Hierop kunnen we de verschilformule voor cosinus toepassen:
sin ( α + β ) = cos (π/2 - α) . cos (-β) + sin (π/2 - α) . sin (-β)
We steunen opnieuw op de eigenschap van complementaire hoeken: sin α = cos ( π/2 - α )
sin ( α + β ) = sin α. cos β + cos α. sin β

sin(α - β )
α - β = α + ( - β )
Hierop kunnen we de somformule voor sinus toepassen:
sin ( α + ( - β ) ) = sin α. cos (-β) + cos α. sin (-β)
tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinus en tegengestelde sinus
sin ( α -β ) = sin α. cos β + cos α. (- sin β)
sin ( α -β ) = sin α. cos β - cos α. sin β

overzicht som- en verschilformules

formules van Simpson

We kunnen in verschillende combinaties de som- en verschilformules
bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken:
 

                      sin(α + β ) = sin α. cos β + cos α. sin β
                  +  sin(α - β ) = sin α. cos β - cos α. sin β
 sin(α + β ) + sin(α - β ) = sin α. cos β + cos α. sin β + sin α. cos β - cos α. sin β

zodat:
sin(α + β ) + sin(α - β ) = 2 . sin α. cos β

                      sin(α + β ) =    sin α. cos β + cos α. sin β
                  -   sin(α - β ) = - sin α. cos β + cos α. sin β
 sin(α + β ) -  sin(α - β ) = sin α. cos β + cos α. sin β - sin α. cos β + cos α. sin β

zodat:
sin(α + β ) - sin(α - β ) = 2 . cos α. sin β

                      cos(α + β ) = cos α. cos β - sin α. sin β
                  +   cos(α - β ) = cos α. cos β + sin α. sin β
 cos(α + β ) + cos(α - β ) = cos α. cos β - sin α. sin β + cos α. cos β + sin α. sin β

zodat:
cos(α + β ) + cos(α - β ) = 2 . cos α. cos β

                      cos(α + β ) =    cos α. cos β - sin α. sin β
                  -    cos(α - β ) = - cos α. cos β - sin α. sin β
 cos(α + β ) -  cos(α - β ) = cos α. cos β - sin α. sin β - cos α. cos β - sin α. sin β

zodat:
cos(α + β ) - cos(α - β ) = - 2 . sin α. sin β

We stellen nu α + β = x  en α - β = y.
Optellen en aftrekken van beide gelijkstellingen geeft als resultaat:

De vier eerdere formules met α en β kunnen we nu schrijven met x en y:

overzicht Simpson