drie deuren probleem wiskunde-interactief.be

Je staat voor drie deuren. Achter een van de drie deuren zit een superprijs.
Achter de andere zit een schamele troostprijs, of helemaal niets.
Je kiest een deur. Met veel gevoel voor show drijft de presentator de spanning op.
Hij opent een deur ... met daarachter een troostprijs.
Hij stelt je opnieuw voor een keuze: wijzig je of blijf je bij je keuze?
 

Monty Hall

Het lijkt een eenvoudig probleem:
De eerste keer kies je één deur van de drie. Je hebt dus één kans op drie om de superprijs te winnen.
Nadat de presentator een deur geopend heeft, blijven er nog twee deuren over.
De kandidaat weet niet waar de superprijs zit. Hij heeft nu dus één kans op twee om de superprijs te winnen.
Of toch niet?

een controverse

In 1991 stelde een lezer van  Marilyn Vos Savant's Sunday Parade column de vraag of de spelkandidaat voordeel had bij het wisselen van deur. Marilyn's antwoordde  dat de kandidaat beter wisselde. Ze kreeg zo'n 10 000 reacties. De meeste lezers waren het niet eens met deze stelling. Waarom dachten zovelen dat Marilyn Vos Savant fout zat? Ze vonden allen dat het niet uitmaakte of de kandidaat wisselde of niet. Indien de spelleider  niet weet achter welke van de twee overblijvende deuren de wagen zit, dan is het antwoord  inderdaad "HET MAAKT NIET UIT OF JE VERWISSELT." De wiskundige angel is echter dat de spelleider van het televisieprogramma het wel weet. Hij is niet neutraal, De verschillende situaties zijn niet gelijkwaardig.   Klik op de deur voor een simulatie. Je kan het spel zelf spelen en ook het resultaat nagaan van 10, 100, 1000 simulaties. Stefan Knutssen maakte deze heel mooie simulatie (met een Zweedse wagen als hoofdprijs).

kansboom

Wiskundig is het een interessant probleem, dat je op verschillende manieren kan benaderen (en oplossen).
We doen een poging:
Bij je eerste keuze duid je ofwel de juiste ofwel een foute deur aan.

Wat geeft dat als resultaat wanneer we steeds eenzelfde strategie aanhouden?
De kans dat je eerste keuze fout is = 2/3 (want er zijn twee foute deuren op een totaal van 3).
Wanneer we steeds veranderen, wordt de tweede keuze een juiste deur. We hebben we dus ook een winstkans van 2/3
Wanneer we nooit veranderen, blijven we bij een foute deur. We hebben we dus ook een verlieskans van 2/3 (en dus een winstkans van 1/3).
In een kansboom wordt dit:

strategie steeds veranderen	strategie nooit veranderen

kanswiel

We kunnen ook de verschillende scenario's voorstellen op een wiel: - De binnenste ring toont achter welke deur de prijs zit (1, 2 of 3) - De middelste ring toont je eerste keuze (1, 2 of 3) - De buitenste ring toont welke deur de spelleider kan openen. De kleur van het vakje toont nu je wat je moet doen om te winnen: - Bij een rood vakje moet je verwisselen om te winnen. - Bij een blauw vakje moet je bevestigen om te winnen. Tel de vakjes en je ziet de resultaten van de simulatie bevestigd: In 2/3 van de gevallen moet je wisselen om te winnen.