Fibonacci en het konijnenprobleem wiskunde-interactief.be
|
Konijnenprobleem
Fibonacci hield zich graag bezig met het mathematiseren van
allerhande problemen en vraagstukjes:
"Een spin klimt dagelijks een bepaalde hoogte op een muur en glijdt 's
nachts een stukje terug.
Wanneer geraakt hij boven?"
"Een hond jaagt achter een haas. De snelheid van beide vergroot lineair.
Wanneer
haalt de hond de haas in?"
Het zijn vraagstukjes die je nu nog terugvindt in handboeken.
Fibonacci wordt echter vooral vereenzelvigd met het zogenaamde konijnenprobleem:
"Een man plaatste een paar konijnen in een ommuurde ruimte.
Een paar konijnen is
na een maand geslachtsrijp en werpt daarna elke maand
een nieuw paar. Hoeveel paar konijnen heb je dan na een jaar?"
Deze aantallen vormen de
rij van Fibonacci.
We stellen een stamboom op voor de eerste maanden:
Voor de eerste twaalf maanden krijgen we:
We stellen vast dat de som van twee opeenvolgende
getallen telkens het volgende getal oplevert.
Het lijkt merkwaardig maar is eigenlijk niet zo onlogisch:
Elk aantal konijnenparen in een bepaalde maand zorgt twee maand
later voor evenveel extra paren.
Samen met het aantal van de volgende maand geven dus ze het totaal aantal twee
maand later.
(op de stamboom kan je dit duidelijk nagaan).
De rij van Fibonacci kan je meetkundig voorstellen door een spiraal.
- Teken een reeks vierkantjes waarvan de zijde telkens gelijk is aan het volgende getal in de rij
en schik ze tegen elkaar in een spiraalvorm.
- Teken in het eerste vierkantje een kwartcirkel tussen twee punten die diagonaal tegenover elkaar staan
en herhaal dat in elk nieuw vierkant, telkens vertrekkend van het hoekpunt waar de vorige cirkelboog eindigt.
Een lengte kunnen we volgens dezelfde verhouding opdelen in en kort en lang stuk.
Er is echter een verdeling, zo dat het langste stuk middelevenredig is tussen het hele lijnstuk en het kleinste stuk.
We spreken dan van de Gulden Snede.
We spreken van een gulden rechthoek als de langste zijde van een rechthoek middelevenredig is
tussen de som van beide zijden en de kortste zijde.
In formulevorm wordt dit:
| som van de twee zijden | = | langste zijde |
| langste zijde | kortste zijde |
Delen we twee opeenvolgende getallen uit de rij van FIbonacci door
elkaar, dan komen we aardig in de buurt
van deze verhouding. Een hoe verder je gaat in de rij, hoe beter je ze benadert:
Je vindt de rij van Fibonacci terug in de
natuur en ze verschijnt ze in de
driehoek van Pascal.
Het is een merkwaardige rij die velen boeit en dat merk je snel wanneer je wat
rondsurft op het internet.
Je vindt al snel een mengelmoes van knappe wiskundige sites tot
pseudo-wetenschappelijke nonsens.
|
Fibonacci |