driehoek van Pascal

- Hoeveel combinaties van 4 elementen kan je maken uit een verzameling van 6?
In het rooster kies je horizontaal het vakje p= 4 en verticaal n= 6. Je vindt dat het 15 combinaties zijn.
- De helft van het rooster is leeg: p ≤ n (je kan niet meer elementen nemen dan je er hebt).
- We herkennen in de driehoek ook enkele eigenschappen van combinaties:

C	n	= 1 We vinden deze waarden op de diagonaal van het rooster (p = n)
	n
C	0	= 1 We vinden deze waarden op de eerste kolom van het rooster (p = 0)
	n

De som van twee willekeurige getallen naast elkaar vinden we steeds onder het rechtse getal:
3 + 3 = 6 6 + 15 = 21 9 + 36 = 45 21 + 7 = 28
Beginnend met kolom 0 (overal 1) kunnen we de hele tabel verder opbouwen.

Met de driehoek van Pascal kan je meteen hogere machten uitwerken zonder formules te leren!
- De coefficienten vind je op de rijen van de driehoek.
- De exponent van a start telkens van n en daalt tot 0.
- De exponent van b start telkens van 0 en stijgt tot n.

We vullen achteraan de opeenvolgende machten van 11 in.
Kijk dan eens naar de driehoek van Pascal en lees de getallen op een rij als één getal...
Vanaf rij 5 krijg je getallen met 2 of meer cijfers. Vergelijk met de machten van 11 en ontdek hoe je ze kan lezen.

Bijvoorbeeld: 11⁵ = 161051
Op rij 5 staan de getallen 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1.
Net zoals bij het optellen van getallen kan je bij het getal 10: "0 schrijven en 1 onthouden".
Zo krijg je: 1 - 5+1 - 0+1 - 0 - 5 - 1 of m.a.w. 1 - 6 - 1 - 0 - 5 - 1

Boven rij 0 is geen rij: de som van alle getallen in de tabel, boven rij 0 = 0.
De som van alle getallen boven rij 1 = 1 (enkel de 1 van rij 0).
De som van alle getallen boven rij 2 = 3 (1+1+1).
De som van alle getallen boven rij 3 = 7 (1+1+1+1+2+1).
...

Vul achter elke rij van de tabel in met ja of neen of het rijnummer een priemgetal is.
(= een natuurlijk getal groter dan 1 dat enkel door zichzelf of 1 deelbaar is)

Kijk nu eens naar de getallen van deze (buiten de cijfers 1). Raar (?) maar waar:
Als het rijnummer een priemgetal is, zijn alle getallen van deze rij (buiten de 1) veelvouden van dat rijnummer!

Bereken de som van de getallen van elke diagonaal en noteer achteraan het getal in het gekleurde vakje.

De rij die je zo verkrijgt is gekend als ' de rij van Fibonacci'.
Fibonnacci was een Italiaans wiskundige uit Pisa, die in 1202 de rij publiceerde als de oplossing van het 'konijnenprobleem'.
Meer over deze fascinerende rij en het konijnenprobleem op de pagina Fibonacci en het konijnenprobleem

kwadraten
Vanaf kolom twee verschijnen met een eenvoudig rekensommetje opeenvolgende kwadraten van natuurlijke getallen.
Je kunt voor elke kolom een dergelijke formule vinden, die voor heel de kolom geldt.
Voor elke volgende kolom heb je in je formule telkens één getal meer nodig.

kolom 2:
De som van twee opeenvolgende getallen van de kolom is steeds een kwadraat.
Deze getallen in kolom 2 zijn de zogenaamde driehoeksgetallen:
Met hoeveel bolletjes maak je telkens een groter driehoekje?

kolom 3:
Wanneer je een getal aftrekt van het getal, twee rijen lager, krijg je steeds een kwadraat.

kolom 4:
De som van vier opeenvolgende getallen, respectievelijk vermenigvuldigt met de coëfficiënten 1, -1, -1 en 1
is steeds een kwadraat

ringen
De driehoek van Pascal wordt ook vaak voorgesteld als een gelijkbenige driehoek.
Het is niet zo handig om het aantal combinaties af te lezen, maar er verschijnen nu nog andere eigenschappen:

Elk getal in de driehoek wordt omringd door 6 getallen.
Het product van deze getallen is steeds een kwadraat.

Zo bv.:
1 . 1 . 5 . 10 . 6 . 3 = 900 = 30²
8 . 9 . 45 . 120 . 84 . 28 = 914 457 600 = 30240²
6 . 15 . 35 . 56 . 28 . 7 = 34 574 400 = 5880².

Sla je in een ring telkens een getal over, dan is bovendien het
product van dit drietal gelijk aan het product van de andere drie..

Raster je in de driehoek alle veelvouden van een getal, dan verkrijg je merkwaardige patronen.
Laat je de veelvouden wit en kleur je de andere getallen, dan krijg je: