Andere formules kunnen we afleiden van deze formule.
De afleiding van deze formule vind je onderraan.

 Oefening 1: Bereken de afgeleiden van:

a)  f(x) = x sin x

Met de productregel vinden we:

f ' (x)

=

(1)(sin x) + (x)(cos x) = sin x + x cos x

b) f(x) = cosec x

f(x) = cosec x =

1 sin x

.

Met de quotiëntregel vinden we:

f ' (x)	=	(0)(sin x) (1)(cos x) sin2x
	=	cos x sin2x

c)  f(x) =

x2+x sinx

,

Met de quotiëntregel vinden we:

dy dx

=

(2x+1)(sin x) (x2+x)(cos x) sin2x

,

d) y = sin(3x²1)

Dit is een samengestelde functie. We leiden deze af met de regel:

d dx

sin u = cos u

du dx

zodat:

d dx	sin (3x21)	=	cos (3x21) d dx (3x21)
		=	6x cos(3x21)

We schrijven de factor 6x vooraan om verwarring te vermijden wanneer we schrijven cos(3x21)(6x)

Bedoelen we cos[(3x21)(6x)] of [cos(3x21)](6x)?

We leiden deze formule af vanuit de goniometrische gelijkheid cos x = sin(p/2x)
f(x) = cos x = sin(p/2x),

          Dit is een samengestelde functie. We krijgen:

f ' (x)	=	cos(p/2x) d dx (p/2x)
	=	(1)cos(p/2x)	(want p/2 is een constante, en d/dx(x) = 1)
	=	sin x	(want cos(p/2x) = sin x)

andere goniometrische functies
De andere goniometrische functies kunnen uitgedrukt worden met sinus en cosinus.
Met de 2 formules voor cosinus en sinus kunnen we dus ook de andere formules afleiden.

Afgeleide functie	In samengestelde functies
d dx sin x = cos x	d dx sin u = cos u du dx
d dx cos x = - sin x	d dx cos u = sin u du dx
d dx tan x = 1 cos2x = sec2 x	d dx tan u = sec2u du dx
d dx cotan x = - cosec2 x	d dx cotan u = - cosec2u du dx
d dx sec x = sinx cos2x = sec x tan x.	d dx sec u = sec u tan u du dx
d dx cosec x = sinx cos2x  - cosec x cotan x	d dx cosec u = - cosec u cotan u du dx

Oefening 2: Bereken de afgeleiden van:

a) f(x) = tan(x²1)

Dit is een samengestelde functie. We vinden:

d dx

tan u = sec2u

du dx

d dx	tan(x21)	=	sec2(x21)	d(x21) dx
		=	2x sec2(x21).

b) f(x) = cosec(e^3x)

f ' (x) =

cosec u = cosec u cotan u

du dx

d dx	cosec(e3x)	=	cosec(e3x) cotan(e3x)	d(e3x) dx
		=	3e3x cosec(e3x) cotan(e3x).		(de afgeleide van e3x is 3e3x)

c) f(x) = e^xsin(2x)

We gebruiken de productregel:

f '(x)	=	(ex)sin(2x) + ex d dx [sin(2x)]
	=	(ex)sin(2x) + ex cos(2x) d dx [2x]	(want d/dx sin u = cos u du/dx)
	=	exsin(2x) + 2excos(2x).

d)  f(x) = sin²x

sin²x = (sin x)².
f(x) is het kwadraat van de sinusfunctie en dus een samengestelde functie. We vinden:

d dx

[u2]

=

2u

du dx

d dx	[(sin x)2]	=	2(sin x)	d(sin x) dx
		=	2 sin x cos x.

e) f(x) = sin(x²)

Dit is een samengestelde functie. We vinden:

d dx

sin u = cos u

du dx

d dx	sin(x2)	=	cos(x2)	d(x2) dx
		=	2x cos(x2).

Formule voor de afgeleide functie van f(x) = sin x

d dx

sin x

=

cos x.

We starten met de definitieformule van afgeleide:

f ' (x) =

h0

f(x+h) f(x) h

Voor f(x) = sin x kunnen we dus schrijven:

d d

sin(x) =

h0

sin(x+h) sin(x) h

. . . . (I)

In de teller staat sin(x+h). Hiervoor kennen we de formule  sin(x+h) = sin x cos h + cos x sin h.
We vullen deze formule in de teller in:

d d

sin(x) =

h0

sin x cos h + cos x sin h sin(x) h

.

Uit de eerste en derde term plaatsen we sin x buiten haakjes

d d	sin(x)	=	h0 sin x (cos h - 1) + cos x sin h h
		=	h0 sin x (cos h - 1) h + h0 cos x sin h h
		=	sin x h0 (cos h - 1) h + cos x h0 sin h h

We krijgen nu de som van twee limieten.

De eerste limiet wordt:	h0	(cos h 1) h	=	0
De tweede limiet wordt	h0	sin h h	=	1

Zodat uiteindelijk:

d dx	sin x = sin x (0) + cos x (1) = cos x.