In de volgende opgaven gebruiken we
de grootheden No en N1.
Hierbij is No = de beginhoeveelheid
N1
= de hoeveelheid na één periode.
1. Een populatie heeft een groeifactor van 1,6.
Dan is N1 =
2. Een populatie stijgt met 1,5% per dag.
Dan is de dagelijkse groeifactor =
3. Een populatie stijgt met 50% per dag.
Dan is N1 =
4. Een populatie daalt met 50% per dag.
Dan is N1 =
5. Een populatie stijgt met 2% per maand.
Dan stijgt ze jaarlijks met
6. Een populatie stijgt met 2% per maand.
Dan is de jaarlijkse groeifactor
7. Een populatie stijgt met 2% per maand.
Dan is de dagelijkse groeifactor
oplossingen:
De jaarlijkse groeifactor is 1 + 1,65/100 = 1,0165
a) De grootte van de populatie binnen vijf jaar = 1 030 000 000 . 1,01655
= 1 117 825 827 of ongeveer 1,1 miljard.
b) De grootte van de populatie drie jaar geleden was = 1 030 000 000 . 1,0165-3
= 980 652 355 of ongeveer 980 miljoen .
c) De maandelijkse groeifactor is 12Ö
1,0165 = 1,00136.
d) De grootte van de populatie binnen 8 maanden = 1 030 000 000 . 1,001368
= 1 041 259 888 of ongeveer 1,04 miljard.
e) Voor een populatie van 1,5 miljard krijgen we: 1 500 000 000 = 1 030 000
000 .
1,0165n
We kunnen de onbekende n berekenen met behulp van logaritmen 1 500 000 000 = 1 030 000 000 .
1,0165n 1 500 000 000 / 1 030 000 000 =
1,0165n log (1 500 000 000 / 1 030 000 000) = log1,0165n log (150/103) = n . log1,0165
log (150/103) / log1,0165 = n
22,97 = n
n = 23 jaar
f) Bij een verdubbeling van de populatie is de eindhoeveelheid N = 2No.
Zo krijgen we: 2No = No .
1,0165n
We kunnen de onbekende n oplossen met behulp van logaritmen 2No = No . 1,0165n 2 = 1,0165n log 2 = log1,0165n log 2 = n . log1,0165
log 2 / log1,0165 = n
42,35 = n
n = 42 jaar 4 maanden
oplossing: a)
Na één periode blijft er nog 0,5 keer de beginhoeveelheid over.
Voor elke periode moeten we vermenigvuldigen met 0,5.
Na 10 periodes blijft er nog 0,510 =
0,000977 over of 0,098% van de beginhoeveelheid.
b) Van 1 kg plutonium blijft dus na 244 000 jaar nog 0,98g over.
c) De groeifactor per halveringstijd is 0,5.
d) De hoeveelheid materiaal na n halveringstijden = 100 . 0,5n.
e) De groeifactor per jaar = 24 400Ö 0,5 =
0,99997
f) De hoeveelheid plutonium die na 1000 jaar overblijft = 100 . 0,999971000
= 97%.
