exponentiële

Exponentiële groei
De beginhoeveelheid is 10 bacteriën.
Elke periode van 20 minuten vermenigvuldigt het aantal met 2.
met 10 als beginhoeveelheid en 2 als groeifactor vinden we:

Na 1 periode is het aantal	20	= 10 . 2	= 10 . 2¹
Na 2 periodes is het aantal	40	= 10 . 2 . 2	= 10 . 2²
Na 3 periodes is het aantal	80	= 10 . 2 . 2. 2	= 10 . 2³
Na 4 periodes is het aantal	160	= 10 . 2 .2. 2. 2	= 10 . 2⁴
Na 5 periodes is het aantal	320	= 10 . 2 .2. 2. 2. 2	= 10 . 2⁵
Na 6 periodes is het aantal	640	= 10 . 2 .2. 2. 2. 2. 2	= 10 . 2⁶
Na 7 periodes is het aantal	1280	= 10 . 2 .2. 2. 2. 2. 2. 2	= 10 . 2⁷
Na 8 periodes is het aantal	2560	= 10 . 2 .2. 2. 2. 2. 2. 2. 2	= 10 . 2⁸
Na 9 periodes is het aantal	5120	= 10 . 2 .2 . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2.	= 10 . 2⁹
Na n periodes is het aantal			= 10 . 2ⁿ

Een beginhoeveelheid 10 met een groeifactor 2
groeit na n periodes aan tot een hoeveelheid 10 . 2ⁿ.
De variabele, het aantal periodes (n) staat in een exponent.
Daarom spreken we van exponentiële groei.

We merken hierbij op:
Teken:
Een negatieve hoeveelheid heeft geen zin:
De beginhoeveelheid b, de groeifactor a en f(x) zijn steeds positief.

Stijgen en dalen:
Een hoeveelheid vermeerdert als we ze vermenigvuldigen met een getal, groter dan 1.
De grafiek stijgt dus als a > 1 en daalt als a< 1.

groeifactor en procentuele toename
Wat is de groeifactor bij een procentuele toename van p%?
b.v.: Een beginhoeveelheid 100 kent een procentuele toename van 4%.

Berekeningen:
vanuit deze basisformule kunnen we verschillende berekeningen maken.
Enkele voorbeelden:
- Hoeveel bacteriën zijn er na 24 uur?
- Kunnen we de groeifactor ook herrekenen naar een langere periode?
- Kunnen we de groeifactor ook herrekenen naar een kortere periode?
- Hoe lang duurt het eer er 1 000 000 bacteriën zijn?

b (= beginhoeveelheid) = 10
a (= groeifactor) = 2
x (= aantal periodes): 24 uur bestaat uit 24 . 3 = 72 periodes van 20 minuten.

Het vullen de gegevens in het algemene functievoorschrift in:
f(x) = b. a^x wordt:
f (72) = 10 . 2⁷²
= 4,72 . 10²² bacteriën.

Kunnen we de groeifactor ook uitdrukken in periodes van een uur
i.p.v. per 20 minuten?

tijd	0	20	40	1u	1u20	1u40	2u	2u20	2u40	3u
aantal periodes van 20 min	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
aantal bacteriën	10	10.2¹	10.2²	10.2³	10.2⁴	10.2⁵	10.2⁶	10.2⁷	10.2⁸	10.2⁹
aantal periodes van 1 uur	0			1			2			3
aantal bacteriën	10. (a)⁰			10. (a)¹			10. (a)²			10. (a)³
aantal bacteriën	10.(2³)⁰			10.(2³)¹			10.(2³)²			10.(2³)³

Of we nu in periodes van 20 minuten of in periodes van een uur rekenen,
het eindresultaat moet gelijk zijn.

- Na 3 periodes van 20 minuten vinden we met een groeifactor 2 als eindhoeveelheid: 10 . 2³
- Na 1 uur vinden we met een groeifactor a als eindhoeveelheid: 10. (a)¹

Zo vinden we als gelijkheid: 10. (a)¹ = 10 . 2³
De groeifactor per uur a moet daarom gelijk zijn aan a = 2³
Algemeen:

Wanneer we de periode n keer vergroten, vergroot de groeifactor a tot aⁿ.

Kunnen we de groeifactor ook uitdrukken in periodes van minuten
i.p.v. per 20 minuten?

tijd (in minuten)	0	1	2	3	...	19	20
aantal periodes van 20 min	0						1
aantal bacteriën	10						10.2
aantal periodes van 1 minuut	0	1	2	3	...	19	20
aantal bacteriën	10. (a₁)⁰	10. (a₁)¹	10. (a₁)²	10. (a₁)²		10. (a₁)¹⁹	10. (a₁)²⁰
aantal bacteriën	10.(?)⁰			10.(?)¹		10. (?)¹⁹	10.(?)²⁰

Of we nu in periodes van 20 minuten of in periodes van 1 minuut rekenen,
het eindresultaat moet gelijk zijn.

- Na 1 periode van 20 minuten vinden we met een groeifactor 2 als eindhoeveelheid: 10 . 2
- Na 20 periodes van 1 minuut vinden we met een groeifactor a₁ als eindhoeveelheid: 10. (a₁)²⁰

Zo vinden we als gelijkheid: 10. (a₁)²⁰ = 10 . 2
Dus moet (a₁)²⁰ = 2, zodat
a₁ = 2 ^(1/20)
De groeifactor a₁per minuut is dus gelijk aan 2^(1/20) = 1,035265.

Wanneer we de periode n keer verkleinen, verkleint de groeifactor a tot a^(1/n).

De beginhoeveelheid = 10
De groeifactor per uur (= 3 keer 20 minuten) = 2³ = 8
De eindhoeveelheid = 1 000 000
Het aantal periodes = n
De basisformule f(n) = b . aⁿ wordt dus: 1 000 000 = 10 . 8ⁿ

wereldbevolking
Nu we meer weten over exponentiële groei, kunnen we begrijpen hoe het tot een 'bevolkingsexplosie' kon komen:
Slechts in 1820 overschreed de totale wereldbevolking het eerste miljard.
Voor de volgende miljarden was er steeds minder tijd nodig.
In 2005 schat men de totale wereldbevolking op 6,47 miljard.
Welke groeipercentage zorgde voor deze spectaculaire groei?

gemiddeld groeipercentage over de periode 1820-2005:
beginhoeveelheid = 1
eindhoeveelheid = 6,47
aantal jaar = 2005 - 1820 = 185

6,47 = 1 . a¹⁸⁵
groeifactor a = ¹⁸⁵Ö6,47 = 1,010144
groeipercentage p = (a - 1) . 100 = 1,0144%

Een groeipercentage van slechts 1,0144% zorgde voor deze spectaculaire groei.
Men schat het huidige groeipercentage op 1,14%.
Met dit groeipercentage verdubbelt de wereldbevolking op 61 jaar...
Is het je nu nog een raadsel waarom energie- en watervoorraden, voedselproductie
en -verdeling op wereldschaal een enorme uitdaging vormen die we nog moeilijk
voor ons uit kunnen schuiven?

tijd	20'	40'	1u	1u20'	1u40'	2u	2u20'	2u40'	3u
tijd (x20min)	1	2	3	4	5	6	7	8	9
aantal bacteriën

de beginhoeveelheid	= 100
+ de toename	= 100 . 0,04
= de eindhoeveelheid	= 100 + 100 . 0,04 = 100 . (1 + 0,04) = 100 . (1,04)

	1 000 000	= 10 . 8ⁿ
	1 000 000	= 8ⁿ
	10
log(	1 000 000	) = log 8ⁿ
log(	100 000	) = n . log 8
log(100 000)		= n = 5,5364 uur
	log 8
	n	= 5 uur 32 minuten