|
integralen van
goniometrische functies |
primitieve functie en afgeleide
F(x) is een primitieve functie van de functie f(x) als
de afgeleide van F(x) = f(x)
| als |
F ' (x) = f(x), |
dan |
 |
f(x) dx = F(x) + c. |
|
rekenregels
| afgeleide |
primitieve functie |
d
dx |
sin x = cos x |
|
|
cos x dx = sin x + C |
|
d
dx |
cos x =  sin x |
|
|
sin x dx = cos x + C |
|
d
dx |
tan x = sec2x |
|
|
sec2x dx = tan x + C |
|
d
dx |
cotan x = cosec2 x |
|
|
cosec2x dx = cotan x + C |
|
d
dx |
sec x = sec x tan x |
|
|
(sec x tan x) dx = sec x + C |
|
d
dx |
cosec x = cosec x cotan x |
|
|
(cosec x cotan x) dx = cosec x + C |
|
Oefeningen
Bereken de volgende integralen
| a) |
|
(3sin x 4sec2x) dx |
b) |
|
cos(2x 6) dx |
| c) |
|
sin x cos2x dx |
d) |
|
tan x dx |
|
Oplossingen
| a) |
|
(3sin x 4sec2x) dx |
|
(3sin x 4sec2x) dx |
= |
|
(splitsen in som van integralen) |
|
|
= |
|
(buiten haakjes zetten van constante) |
|
|
= |
3cos x 4tan x + C
|
(basisintegralen uit tabel) |
b) De integraal cos(2x 6) dx
kunnen we oplossen door substitutie
| u = 2x6 |
du
dx |
= |
2 |
| dx |
= |
1
2 |
du |
|
Zo krijgen we
|
cos(2x 6) dx |
= |
|
cos u |
1
2 |
du |
|
(substitutie) |
|
|
= |
1
2 |
|
cos u du |
|
(buiten haakjes zetten van constante) |
|
|
= |
1
2 |
sin u + C |
|
(basisintegralen uit tabel) |
|
|
= |
|
| 1
2 |
sin(2x6) + C. |
|
(we vervangen u opnieuw) |
c) Ook de integraal sin x cos2x
kunnen we oplossen door substitutie toe te passen
| u = cos x |
du
dx |
= sin x |
| dx |
= |
1
sin x |
du |
|
We krijgen nu
|
sin x cos2x dx |
= |
|
(substitutie) |
|
|
= |
|
|
u2 du |
|
|
|
= |
|
u3
3 |
+ C |
|
|
|
= |
|
| |
cos3x
3 |
+ C. |
|
(we vervangen u opnieuw) |
d) We herschrijven tan x dx als (sin x / cos x) dx,
en gebruiken dezelfde substitutie als in de vorige oefening:
|
tan x dx |
= |
|
sin x
cos x |
dx |
|
|
|
= |
|
(substitutie) |
|
|
= |
|
|
|
= |
ln (u) + C
|
|
|
= |
ln (cos x) + C. |
(we vervangen u opnieuw) |
uitbreiding van
formules
Uit de oefeningen met substitutie leren we:
| Basisregel
|
Uitbreiding
|
|
|
cos x dx = sin x + c |
|
|
|
cos(ax+b) dx = |
1
a |
sin(ax+b) + c |
|
|
|
sin x dx = cos x +
c |
|
|
|
sin(ax+b) dx = |
1
a |
cos(ax+b) + c |
|
|
|
tan x dx = ln (cos x)
+ c |
|
|
|
tan(ax+b) dx = |
1
a |
ln (cos(ax+b))+ c |
|
|
|
cotan x dx = ln (sin x) + c
|
|
|
|
cotan(ax+b) dx = |
1
a |
ln (sin(ax+b)) + c |
|
|
|
sec x dx = ln (sec x + tan x) + c
|
|
|
|
sec(ax+b) dx = |
|
1
a |
ln (sec(ax+b) + tan(ax+b))+ c |
|
|
|
cosec x dx = |
|
ln (cosec x + cotan x) +
c |
|
|
|
cosec(ax+b) dx = |
|
|
1
a |
ln (cosec(ax+b) + cotan(ax+b))+ c |
|
