Complexe iteratie - optelling
De complexe getallen Z1 en Z2 bepalen de positie van de
afbeelding van Calvin.
We tellen je bij deze complexe getallen telkens eenzelfde complex getal bij en
volgen de baan van de afbeelding.
| Een complexe functie f(z) = z + c verschuift telkens het getal z in het complexe vlak. |
Complexe iteratie - vermenigvuldiging
De complexe getallen Z1 en Z2 bepalen de positie van de
afbeelding van Calvin.
We vermenigvuldigen deze complexe getallen telkens eenzelfde complex getal en
volgen de baan van de afbeelding.
| De complexe functie f(z) = 1/2i . z - roteert telkens het getal z rond de oorsprong. - verkleint de afmetingen van de afbeelding telkens met factor 2. |
Wanneer je de iteratie blijft uitvoeren, nadert de baan van de punten Z1
en Z2 steeds dichter naar de oorsprong.
Het getal 0 (= 0 + 0i) noemen we de attractor
van de beeldpunten.
f(z) = z2
In de waardentabel en met de schuifknop kan je de
baan van het getal A volgen.
- Versleep A naar 1 + 0i en vergelijk de baan.
- Versleep A verder naar rechts op de reele as en vergelijk de baan.
Blijkbaar heeft de functie voor sommige waarden van A een attractor en voor
andere niet.
| De baan van een complex getal door de functie f(z) = z2 hangt af van het getal zelf. - De baan van een punt binnen de eenheidscirkel is begrensd met 0 als attractor. - De baan van een punt op de eenheidscirkel ligt op de cirkel zelf. - De baan van een punt buiten de eenheidscirkel is onbegrensd. De verzameling van alle punten met een begrensde baan noemt men de Juliaverzameling van de functie. |
f(z) = z2 + c
De vorm van de Juliaverzameling verandert wanneer je na het kwadrateren telkens
nog een complex getal bijtelt.
| De Julia-verzameling van de functie f(z) = z2 +c in deze voorbeelden - is steeds een aaneengesloten gebied. - heeft een reeel getal als attractor wanneer ook c een reeel getal is. - heeft een complex getal als attractor wanneer ook c een complex getal is. Hoe groter de modus van het complex getal c, hoe grilliger de vorm van de Juliaverzameling. |
Mandelbrotverzameling
Levert elk complex getal c in de complexe functie f(x) = z2 + c een attractor op?
Benoit Mandelbrot vertrok van een getal A= 0 en onderzocht verschillende waarden
van c.
| De Mandelbrotverzameling omvat alle waarden c die een begrensde baan opleveren. |
Waar liggen de waarden van c die de vorige reeks Juliaverzamelingen opleverde:
De waarden van c in deze reeks liggen alle in het centrale hartvormige gedeelte
van de Mandelbrotverzameling.
Maar laten we eens kijken wat c-waarden buiten dit gedeelte opleveren...
c-waarden in de tweede kleinere bol
De Juliaverzameling blijkt niet één maar twee attractoren te hebben.
De Juliaverzameling bestaat niet langer uit één aaneengesloten gebied.
| - Waarden van c uit de kleinere bol, links van het hartvormige centrale gedeelte leveren een Juliaverzameling op met 2 attractoren. - De Julia-verzameling bestaat uit een oneindig aantal knooppunten waar telkens 2 delen samenkomen. - De attractoren liggen in twee aan elkaar grenzende delen. - De iteraties springen telkens heen en weer tussen de twee attractoren. |
De andere primaire
bollen
Rond het hartvormige centrale gedeelte liggen nog andere, zogenaamde primaire
bollen.
Natuurlijk gaan we ook daar een kijkje nemen.
We nemen 2 waarden uit de onderste bol en 1 uit de bovenste bol.
| - Waarden van c uit de kleinere bollen boven en onder leveren een Juliaverzameling op met 3 attractoren. - In elk knooppunten komen telkens 3 delen samen. - De attractoren liggen in 3 aan elkaar grenzende delen. - De iteraties springen draaien tegenuurwijzerszin rond het gemeenschappelijk knooppunt. |
Andere primaire bol leveren blijkbaar nog andere aantallen attractoren op:
Zo kunnen we voor elke primaire bol het aantal attractoren vastleggen.
Mandelbrotplotter
Met de muisaanwijzer als verfborstel kan je zelf de Mandelbrotverzameling
plotten.
Punten met een begrensde baan kleuren we zwart, de andere rood.
Je 'verft' door met de muisaanwijzer het linkse punt van het zwarte strookje te
verslepen.
Juliaplotter
Op dezelfde manier kan je experimenteren met Juliaverzamelingen.
Voor verschillende c-waarden kleur je de punten met begrensde baan zwart.
Tegelijk kan je de iteraties volgen van het blauwe versleepbare punt.
Inzoomen op
de Mandelbrotverzameling
| Steeds verder inzoomen op de hartvormige
inkeping van de centrale bol geeft volgende reeks wondere afbeeldingen. De Mandelbrotverzameling is niet zomaar een grote bol met hartvormige instulping en daarrond nog wat primaire bollen. Inzoomen op de verzameling opent een fantastischtische wereld. De primaire bollen vertonen antennes, telkens net zoveel als het aantal attractoren als de c-waarden van deze bol opleveren. Inzoomend verschijnen steeds opnieuw nieuwe bollen met antennes... Zulk een figuur noemen we een fractaal. Je kan afbeeldingen van de Mandelbrotverzameling heel kleurrijk maken. Afhankelijk van het aantal iteraties waaruit duidelijk wordt dat de baan van een punt naar oneindig gaat, kan je het punt op je computerscherm een andere kleur toekennen. Op het internet vind je sites en programma's waarmee je met fractalen en kleuren kan experimenteren. (Zoek op 'fractal', 'mandelbrot set', julia set' of varianten er van. |
 |
 |
 |
 |
 |