product, quotient en macht van complexe getallen wiskunde-interactief.be
product van
complexe getallen
Ook het product rekenen we uit zoals het product van reële getallen:
(a + bi) . (c + di)
= ac + adi +bci + bdi² met i²
= -1 vinden we:
= (ac - bd) + (ad + bc)i
(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i |
Rekenkundig klopt dit wel, maar op het applet is het
verband tussen de coordinaten niet duidelijk.
Er is wel een eenvoudig verband tussen de moduli en de argumenten
- de modulus van het product =
product van de moduli
- het argument van het product =
som van de argumenten
Algemeen:
r1. (cos θ1 + i. sin θ1 ) . r2. (cos θ2 + i. sin θ2 ) = r1. r2 [cos (θ1 + θ2)+ i. sin (θ1 + θ2) ] |
De geldigheid van deze formule kunnen we bewijzen met de somformules uit de goniometrie.
quotiënt van complexe getallen
| We berekenen een quotiënt (a + bi) : (c + di)
door teller en noemer te vermenigvuldigen met het toegevoegde complexe getal van de noemer: |
Analoog als voor het product vinden we ook voor het quotiënt een eenvoudige goniometrische schrijfwijze:
- de modulus van het quotient =
quotient van de moduli |
De geldigheid van deze formule kunnen we ook bewijzen met de verschilformules uit de goniometrie.
macht van complexe getallen
- de modulus
van de nde macht = nde macht van de modus
- het argument van
de nde macht =
n x het argument
|
nieuwe definitie |