telproblemen-groeperingen wiskunde-interactief.be
"Op hoeveel manieren kan je ..."
Er zijn verschillende manieren waarop we elementen kunnen groeperen.
We overlopen hoe we deze manieren kunnen herkennen en het aantal mogelijkheden
kunnen berekenen.
productverzamelingen
Uit elke kom neem je één balletje.
Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Wat zijn productverzamelingen:
Wat is nu typisch aan dergelijke groeperingen, die we productverzamelingen noemen:
|
Je neemt uit verschillende verzamelingen telkens één element. |
Aantal elementen van een productverzameling:
| Aantal n-tallen in de productverzameling A x B x C
... N :
#(A x B x C ... N) = #A . #B . #C
. ... . #N |
De Franse schrijver Raymond Queneau in 1961 de gedichtenbundel 'Cent mille milliards de poèmes'. Moeten we deze grootspraak wel letterlijk nemen? Is dit niet onmogelijk? Het was niet eens een krachttoer... De bundel werd gevormd door horizontale strookjes . Per versregel kon de lezer zijn keuze maken uit 10 strookjes. Samen vormden de 14 regels een sonnet. Het totaal aantal mogelijke gedichten bedroeg zo: 10 . 10 . 10 . ... . 10 (14 factoren) Dit is inderdaad 1014.of honderdduizend miljard... probeer het zelf maar eens uit: Stel zelf je sonnet samen |
trekken met teruglegging:
Ook het telkens trekken (met teruglegging) van één element uit eenzelfde
verzameling
kan je bekijken als een productverzameling.
faculteiten
In telproblemen kom je regelmatig berekeningen tegen van een vorm als 6 . 5 .
4 . 3 . 2 . 1
We noteren deze bewerking symbolisch als 6! en
lezen ze als '6 faculteit'.
n faculteit = n . (n - 1) . ... . n n faculteit is het product van alle opeenvolgende natuurlijke getallen van 1 tot en met n. Deze definitie geldt voor alle natuurlijke getallen, Aanvullend definiëren we 1! = 1 en ook 0! = 1. |
Uit de kom met gekleurde balletjes plaats je de mooiste kleur op 1
en de tweede mooiste kleur op 2. Op hoeveel manieren kan je dat?
We zeggen daarom:
Een variatie is een rangschikking
van p elementen uit een verzameling van n elementen.
Aantal variaties
- algemene
formule
Hoeveel variaties van p elementen kunnen we vormen uit n gegeven elementen?
In het applet bouwen we een boomstructuur op vanuit 4 gegeven elementen:
Aantal variaties van p elementen uit een verzameling
van n elementen:
|
Je neemt alle balletjes en plaatst ze bovenaan in volgorde .
Op hoeveel verschillende manieren kan je dat?
Wat zijn permutaties:
We zeggen:Een permutatie is een rangschikking van alle elementen uit een verzameling. |
Aantal permutaties:
- Voor de keuze van het eerste balletje hebben we 4 mogelijkheden.
|
Aantal permutaties uit een verzameling van n elementen = n ! |
Uit de kom met gekleurde balletjes leg je twee balletjes in het emmertje ernaast. Aantal combinaties:
aantal combinaties -
algemene formule
n - p
n
Op hoeveel manieren kan je dat?
We zeggen:
Een combinatie is een
deelverzameling
van p elementen uit een verzameling van n elementen.
In het applet bouwen we een boomstructuur op vanuit 4 gegeven elementen:
Aantal combinaties van p elementen uit een
verzameling van n elementen:
C
p
=
n!
n
( n - p)! . p!
C
0
=
1
n
C
n
=
1
n
C
1
=
n
n
C
p
=
C
n