substitutiemethode wiskunde-interactief.be

macht van een veelterm
∫ (x + 5)² dx kan je eenvoudig oplossen door het kwadraat uit te werken.
∫ (x² + 10x + 25) dx is inderdaad een eenvoudige integraal van een veeltermfunctie.

∫ (x + 5)⁷ dx is al een pak vervelender.
Natuurlijk kan je ook hier de macht uitwerken, maar het kan eenvoudiger en vooral veel sneller.
Wanneer je (x+5) gelijkstelt aan u, krijg je terug een eenvoudige integraal:



samengestelde functie
Het resultaat na substitutie van (x+5) door u is niet verbazend... Waarom dan al die heisa met die veranderlijke u?
Als je jezelf die vraag stelde, had je wel iets over het hoofd gezien:
f(x)= (x + 5)⁷ is een samengestelde functie.
Zijn afgeleide (en zijn primitieve functie) hangen niet alleen af van de exponent, maar ook van het grondtal.
Hier hadden we geluk want (x+5) ' = 1.

Maar: (4x+5) ' ≠ 1.
Bij de integraal ∫ (4x + 5)² dx   mag je dx niet zomaar inruilen voor du.

 

methode:  1. Schrijf u als een functie van x.  2. Bepaal de afgeleide van deze functie en de verhouding dx t.o.v. du.  3. Vervang elke vorm in x door de overeenkomende vorm in u.  Bepalen van u:  Er is geen vaste methode of 'snelle regel' die altijd werkt.  Overloop volgende mogelijkheden:  - Stel u gelijk aan een uitdrukking die verheven wordt tot een macht.  - Stel u gelijk aan een uitdrukking waarvan de afgeleide voorkomt als een factor in de integraal.  - Stel u gelijk aan de noemer van een rationale vorm.  - Als je de variabele niet kunt elimineren door de substitutie, probeer dan een andere substitutie          (... of een andere methode.)

bepaalde integraal
Bij integratie door substitutie ga je tijdelijk over naar een andere veranderlijke.
Hiermee moet je ook rekening houden bij het invullen van de integratiegrenzen:
- Ofwel vul je de integratiegrenzen pas in nadat je teruggekeerd bent naar de oorspronkelijke variabele.

- Ofwel pas je niet alleen de integrand aan, maar druk je ook de integratiegrenzen uit in de nieuwe veranderlijke.
  Wanneer de integrand in de nieuwe veranderlijke veel eenvoudiger is dan de oorspronkelijke integrand,
  kan het interessanter zijn om ook de grenzen in de nieuwe veranderlijke uit te drukken.
 

naar startpagina naar sitemap overzicht integralen  primitieve functie

macht van een veelterm samengestelde functie   bepaalde integraal

oefeningen integralen opgeloste oefeningen oefeningen analyse