nulpunten

vaststelling:
We combineren nu de deling ( 2x³ + x² - 5x + 2 ) : ( x - a )
met de grafiek van de functie f(x) = 2x³ + x² - 5x + 2.
Verschuif het punt op de x-as tot een nulwaarde van de functie.
Voor deze waarde is ook de deling opgaand (want de rest is nu 0).
Na delen vinden we de gelijkheid: deeltal = deler . quotient .
Zo ontbinden we een derdegraadsfunctie in het product van een tweedegraadsfunctie met een eerstegraadsfunctie.
Meteen kunnen we ook algebraisch de nulwaarden van deze derdegraadsfunctie berekenen.

algebraisch berekenen van nulwaarden:
Voor functies van de eerste en de tweede graad kennen we praktische formules om de nulwaarden te berekenen.
Voor functies van een hogere graad kennen we die niet.

Wel kunnen we algebraisch nulwaarden van hogeregraadsfuncties vinden door het voorschrift te ontbinden
in een product van factoren van ten hoogste een tweede graad.
De nulwaarden van de functie zijn dan de nulwaarden van de verschillende factoren.

- Op het applet kunnen we aflezen dat x = 1 een nulwaarde is van de functie f(x) = 2x³ + x² - 5x + 2.
- De rest van de deling van 2x³ + x² - 5x + 2 door ( x - 1 ) is gelijk aan 0.
De deling is opgaand.
- We kunnen 2x³ + x² - 5x + 2 schrijven als ( x - 1 ) . ( 2x² + 3x - 2).

- De nulwaarden van f(x) = 2x³ + x² - 5x + 2 zijn ook de nulwaarden van f(x) = ( x - 1 ) . ( 2x² + 3x - 2)
- De nulwaarden van f(x) = ( x - 1 ) . ( 2x² + 3x - 2) zijn de oplossingen van de vergelijkingen
   x- 1 = 0
   2x² + 3x - 2 = 0

Meteen kunnen we ook alle nulwaarden van de functie berekenen, ook al is er een niet-geheel nulpunt tussen:

vaak gestelde vragen:

Hoe vinden we delers van de vorm (x-a)?	In een functiewaardentabel kan je de gehele nulwaarden aflezen
Als er meerdere nulwaarden zijn, welk kiezen we dan voor Horner?	Het is om het even met welke nulwaarde je Horner uitrekent.
welke getallen moeten we controleren?	Je hoeft enkel de gehele delers van de constante term van de veelterm te controleren. Voor f(x) = 2x³ + x² - 5x + 2 zijn dat dus 1, 2, -1 en -2.
wat als het getal a negatief is?	Voor bijvoorbeeld -2 wordt ( x - a ) = ( x - (-2) ) = ( x + 2).
wat met 4e, 5e, ... graadsfuncties?	Voor functies van een hogere graad dan 3 moet je meerdere factoren afsplitsen. Dat kan b.v. door op het eerst verkregen quotient nogmaals Horner toe te passen Je kan ook eventueel, zo mogelijk, x buiten haakjes plaatsen.
kunnen we nulpunten van veeltermfuncties niet gewoon aflezen op een grafisch rekenapparaat?	In heel wat gevallen zal dit geen probleem zijn. Het vraagt bovendien minder tijd. Nulwaarden kunnen echter soms ook (ver) buiten het scherm vallen, zodat we ze vergeten. Door ze te berekenen kunnen we ze soms 'ontdekken'.
kunnen we via Horner steeds alle reele nulwaarden van veeltermfuncties berekenen?	Om Horner te kunnen toepassen, hebben we gehele of rationale nulwaarden nodig. Heeft een veeltermfunctie die niet, dan moeten we andere middelen gebruiken: We kunnen het venster van het rekenapparaat vergroten, de functiewaardentabel uitgebreid nagaan. of andere computerprogramma's gebruiken.