matrices en stelsels wiskunde-interactief.be
Stelsel oplossen als
een matrix
Wanneer we de vergelijkingen van een stelsel steeds schrijven als ax + by = c
kunnen we het stelsel noteren als een matrix.
Bewerkingen met de vergelijkingen noemen we dan 'elementaire rijoperaties'.
Hierbij mogen we:
- Een vergelijking vermenigvuldigen met een factor verschillend van 0
- Twee vergelijkingen bij elkaar optellen.
Wanneer we door elementaire rijoperaties de eerste twee kolommen omvormen tot
een eenheidsmatrix
dan lezen we in de derde kolom de oplossing van het stelsel af.
Die elementaire rijoperaties komen overeen met de combinatiemethode voor
stelsels.
Dit is ook logisch wanneer we volgende matrixvermenigvuldiging bekijken:
| ( | 5 | 3 | ) . ( | x | ) = ( | 5x + 3y | ) Dit zijn de linkerleden van het stelsel. |
| 3 | 4 | y | 3x + 4y |
| De linkerleden van een stelsel zijn gelijk aan de rechterleden, zodat we we een stelsel kunnen schrijven als een vermenigvuldiging. |
| ( | 5 | 3 | ) . ( | x | ) = ( | 1 | ) |
| 3 | 4 | y | -6 |
| Voor de laatste regel van de oplossing van het stelsel krijgen we: |
| ( | 1 | 0 | ) . ( | x | ) = ( | 2 | ) |
| 0 | 1 | y | -3 |
| Zo wordt het duidelijk dat we in de laatste kolom van de matrix van
het stelsel de oplossing kunnen aflezen, wanneer we de eerste kolommen omvormen tot een eenheidsmatrix. Deze omgevormde matrix noemen we de gereduceerde rij-echelonvorm van de matrix. |
spilmethode
De spilmethode is een stap-voor-stapmethode die deze omvorming tot een
eenheidsmatrix realizeert.
Hierbij hoeven we ons niet langer de vraag te stellen: "Met welke
getallen moet ik de rijen vermenigvuldigen?".
We 'kuisen kolom per kolom op'. Dat wil zeggen:
- de elementen buiten de hoofddiagonaal moeten 0 worden.
- de elementen op de hoofddiagonaal moeten 1 worden.
Kolom per kolom:
- noemen we het element op de hoofddiagonaal de spil.
- blijft de rij van de spil onveranderd.
- worden de getallen die op dezelfde kolom staan als de spil gelijk aan 0.
De overige getallen vervangen we door het het resultaat van volgende berekening:
- Maak een rechthoek.
- Vermenigvuldig de spil met het getal dat je wil vervangen.
- Trek van dit product het product af van de getallen op de andere diagonaal van
dezelfde rechthoek.
spilmethode in Excel:
Excel-bestand met stap-voor-stap uitwerking van 2x2 en 3x3-stelsels
commando RREF() bepaald of niet?
de omvorming van de matrix van een stelsel tot de gereduceerde rij-echelonvorm
is in rekenapparaten
en in GeoGebra ingebouwd als het commando RREF().
Dit is de afkoring van de Engelse benaming row reduced
echelon form.
Een bepaald stelsel heeft juist een oplossing.
Maar niet alle stelsels zijn bepaald:
bepaald stelsel
- RREF(Matrix): De rij gereduceerde
echelonmatrix bestaat uit een eenheidsmatrix, aangevuld
met een uitkomstenkolom.
- Oplossing: Het stelsel heeft een welbepaalde oplossing.
Op elke rij lees je de oplossing van een
onbekende af.
1 0 0 a staat
voor 1x + 0y + 0z = a of x = a
0 1 0 b staat
voor 0x + 1y + 0z = b of y = b
0 0 0 c
staat voor 0x + 0y + 1z = c of z = c
onbepaald stelsel
- RREF(Matrix): Minstens een rij van de rij gereduceerde
echelonmatrix bestaat uit enkel nullen.
- Reden: Een of meerdere vergelijkingen zijn een lineaire
combinatie van andere vergelijkingen.
- Oplossing: 0x + 0y + 0z = 0 klopt altijd.
Deze rij staat voor een onbekende waarvan je de
waarde vrij mag kiezen.
De andere onbekenden bepaal je in functie
van de vrije veranderlijke(n).
1 0 a b staat
voor 1x + 0y + az = b of x = b - az
0 1 c d staat
voor 0x + 1y + cz = d of y = d - cz
0 0 0 0
staat voor 0x + 0y + 0z = 0 z is vrij te
kiezen
vals stelsel
- RREF(Matrix): De rij gereduceerde echelonmatrix is van de
vorm 0 0 ... 1
- Reden: Een of meerdere vergelijkingen zijn, op een term na, een lineaire
combinatie van
andere vergelijkingen.
- Oplossing: 0x + 0y + 0z = 1 klopt nooit. Het stelsel heeft geen oplossing.