samenklanken en verhoudingen wiskunde-interactief.be
| Het geheel rond sinusfuncties, geluid en
muziek is uitgewerkt op acht pagina's: - van sinusfuncties tot een toonsysteem schetst de natuurkundige en wiskundige basis van geluid. - samenklanken en verhoudingen beluistert en onderzoekt het resultaat van samenklinkende geluiden. - boventonen en zwevingen onderzoekt het voorkomen van natuurlijke boventonen en het waarnemen van zwevingenbij tonen die nauwelijks van elkaar verschillen. - de kwinten van Pythagoras ontleedt hoe Pythagoras vanuit kwintverhoudingen een toonladder opbouwt. - het komma van Pythagoras' ontleedt hoe Pythagoras vanuit kwintverhoudingen een toonladder opbouwt. - een muzikale zoektocht' volgt de muziekgeschiedenis in zijn zoektocht naar welluidendheid. - barokstemmingen' ontleedt enkele pogingen om nieuwe oplossingen te vinden voor nieuwe muzikale wensen. - de kettingbreuk van Huygens' ontleedt Huygens' berekeningen om een 'juister' klinkende toonladder uit te bouwen. Extra: partituurfragmenten en youtube-filmpjes illustreren de theorie. - de zoektocht in klank en beeld: opmerking over het afspelen van geluid: GeoGebra is in de eerste plaats een fantastisch wiskundeprogramma maar geen gesofisticeerd keyboard. Verschijnt er bijvoorbeeld in een grijs scherm een foutmelding over het afspelen, herlaad dan gewoon de pagina en klik gewoon opnieuw op 'speel'. Doe hetzelfde wanneer je het afspelen van een geluid niet kan stoppen. Hoor je geen geluid, probeer dan eens een andere browser... Zelfs met deze gebreken is het een unieke manier voor wiskundigen om iets over muziek te leren en omgekeerd. |
Samenklinkende tonen
Klinken twee tonen samen, dan kan je ook dit resultaat
voorstellen door een sinusfunctie.
De som van twee functies bereken je door voor elke x-waarde de som van de twee functiewaarden te berekenen.
in en uit fase
Van twee samenvallende sinusfuncties zeggen we dat ze in fase
zijn.
De snijpunten met de evenwichtslijn (de zogenaamde 'knopen') vallen samen.
Tellen we beide functies op, dan versterken ze elkaar.
De maximale uitwijking (=amplitude) van de somfunctie is gelijk aan de som van de
uitwijking van de aparte functies.
Twee tegengestelde sinusfuncties heffen elkaar op. Ze zijn
in tegenfase.
De knopen vallen nog wel samen, maar waar de ene een top heeft, heeft de andere
een dal.
Tellen we beide functies op, dan is het resultaat nul.
Is een tweede sinusfunctie lichtjes verschoven t.o.v. een eerste, dan spreken we
van een faseverschil.
Omdat de toppen niet samenvallen, is de amplitude kleiner dan wanneer ze in fase
zijn.
Verhoudingen tussen samenklinkende tonen
Sommige samenklanken ervaren we als welluidend, andere dan weer niet.
De sleutel ligt in de frequentie van de verschillende tonen.
De golf, gevormd door de samenklank van twee tonen van een
toonladder is ook periodiek.
Hoe korter de periode van deze samenklank, hoe meer welluidend we hem ervaren.
De periode van de samenklank grondnoot-octaaf is even groot als de periode van de grondtoon.
We ervaren een octaaf als heel welluidend.
De periode van de samenklank grondnoot-kwint is dubbel zo lang als de periode van de
grondtoon.
Naast octaaf klinken ook kwint, kwart en terts (in dalende volgorde) nog
welluidend.
Andere samenklanken kunnen, ook zij zijn periodiek maar hebben een veel langere
periode.
De periode van de samenklank secunde of septime is acht maal zo lang als de
periode van de grondtoon.
Deze samenklanken ervaren we spontaan niet als mooi of rustgevend.
In de muziek worden deze samenklanken gebruikt
om een gevoel van spanning op te roepen.
De leer van het gebruiken van samenklanken in het componeren noemt men de
harmonieleer.