Pythagoras, die natuurlijk dol was op verhoudingen berekende reeds de verhoudingen van alle toonafstanden.
Hij rekende enkel met opeenvolgende kwinten en octaven.
Laten we even toongewijs op stap gaan met stappen van kwinten en oktaven.
|
Het geheel rond sinusfuncties, geluid en
muziek is uitgewerkt op acht pagina's: - van sinusfuncties tot een toonsysteem schetst de natuurkundige en wiskundige basis van geluid. - samenklanken en verhoudingen beluistert en onderzoekt het resultaat van samenklinkende geluiden. - boventonen en zwevingen onderzoekt het voorkomen van natuurlijke boventonen en het waarnemen van zwevingenbij tonen die nauwelijks van elkaar verschillen. - de kwinten van Pythagoras ontleedt hoe Pythagoras vanuit kwintverhoudingen een toonladder opbouwt. - het komma van Pythagoras' ontleedt hoe Pythagoras vanuit kwintverhoudingen een toonladder opbouwt. - een muzikale zoektocht' volgt de muziekgeschiedenis in zijn zoektocht naar welluidendheid. - barokstemmingen' ontleedt enkele pogingen om nieuwe oplossingen te vinden voor nieuwe muzikale wensen. - de kettingbreuk van Huygens' ontleedt Huygens' berekeningen om een 'juister' klinkende toonladder uit te bouwen. Extra: partituurfragmenten en youtube-filmpjes illustreren de theorie. - de zoektocht in klank en beeld: opmerking over het afspelen van geluid: GeoGebra is in de eerste plaats een fantastisch wiskundeprogramma maar geen gesofisticeerd keyboard. Verschijnt er bijvoorbeeld in een grijs scherm een foutmelding over het afspelen, herlaad dan gewoon de pagina en klik gewoon opnieuw op 'speel'. Doe hetzelfde wanneer je het afspelen van een geluid niet kan stoppen. Hoor je geen geluid, probeer dan eens een andere browser... Zelfs met deze gebreken is het een unieke manier voor wiskundigen om iets over muziek te leren en omgekeerd. |
| met do als grondtoon | do | re | mi | fa | sol | la | si | do |
| rangorde | prime | seconde | terts | kwart | kwint | sext | septime | oktaaf |
| frequentieverhouding met de prime is |
1/1 | 9/8 | 5/4 | 4/3 | 3/2 | 5/3 | 15/8 | 2/1 |
Omdat octaven en kwinten welluidend klinken, vormen ze in alle
culturen de basis van een toonstelsel.
Pythagoras, die natuurlijk dol was op verhoudingen berekende reeds de
verhoudingen van alle toonafstanden.
Hij rekende enkel met opeenvolgende kwinten en octaven.
Laten we even toongewijs op stap gaan met stappen van kwinten en
oktaven.
| stapgrootte | stappen | verhouding |
| kwinten | do . . sol . . re . . la . . mi . . si . . fa# . . do# . . sol# . . re# . . la# . . mi# . . si# | (3/2)12 = 129,75 |
| octaven | do . . . . . do. . . . . .do. . . . . . do. . . . . .do. . . . . . do. . . . . . do. . . . . . do | (2/1)7 = 128 |
Oeps... een probleempje!
Want...
Een do is een halve noot hoger dan een si. Een si# zou dus gelijk moeten zijn
aan een do.
Maar rekenend in kwinten komen we iets hoger uit dan rekenend in octaven.
Nu kom je een si# nog niet zo snel tegen, maar het doet wel heel het systeem
wankelen.
En la# is dan ook niet gelijk aan een sol#, een fa# niet aan een sol b enz.
Zolang we braaf binnen een toonaard blijven, is er geen enkel probleem, maar
wanneer we noten gebruiken
die vreemd zijn aan een toonaard of binnen een muziekstuk veranderen van
toonaard (= moduleren),
ja dan komen we echt wel in de problemen.
| twee manieren
van tellen De frequenties van opeenvolgende la's zijn 440 Hz, 880 Hz, 1760 Hz ... Bij een octaafverhoging wordt niet telkens dezelfde hoeveelheid bijgeteld (b.v. 440 Hz). Geluid werkt m.a.w. niet lineair. De frequentie wordt telkens vermenigvuldig met 2. De frequentie van een la 3 octaven hoger dan de la op 440 Hz = 440 . 2 . 2 . 2 = 440 . 23 Hz. Wat zie je verschijnen: machten. Zo'n groei noemen we exponentieel: Als je breuken gewoon zou mogen optellen dan was de verdeling van een octaaf gewoon een kwestie van kleinste gemeen veelvoud. Maar snel zal blijken dat, wanneer we 'kwinten optellen' we helemaal niet aan het optellen zijn. En dit verschil zal grote gevolgen hebben! |
Breuken optellen en breuken vermenigvuldigen
(of waarom een stapeling van kwinten niet in een geheel
aantal octaven past...)
De chromatische toonladder in C(do) ziet er uit als volgt:
do - do# - re - re# - mi - fa - fa# - sol - sol# - la - la# - si - do.
In deze reeks is de kwint (sol) de 7e trap van 12. en een octaaf de 12e trap.
In enkele bestanden illustreren we het verschil tussen een lineair en een
exponentieel model.
lineair model:
In gelijke stapjes van 0 tot 12 tellen we met elke toontrap
telkens 1/12 bij.
| do | do# | re | re# | mi | fa | fa# | sol | sol# | la | la# | si | do |
| 0 | 1/12 | 2/12 | 3/12 | 4/12 | 5/12 | 6/12 | 7/12 | 8/12 | 9/12 | 10/12 | 11/12 | 12/12 = 1 |
exponentieel model:
De frequentie van het octaaf is 2 maal deze van de grondtoon.
Bij elke toontrap vermenigvuldigen we de frequentie met 2(1/12) .
Binnen het octaaf tellen we dus niet lineair van 0 tot 1, maar exponentieel van
1 tot 2.
| do | do# | re | re# | mi | fa | fa# | sol | sol# | la | la# | si | do |
| 1 | 21/12 | 22/12 | 23/12 | 24/12 | 25/12 | 26/12 | 27/12 | 28/12 | 29/12 | 210/12 | 211/12 | 212/12 = 2 |
Stapelen we kwinten en octaven op, dan dan rekenen we op dezelfde manier met
machten.
Het is niet meer de grootte van de blokjes die gelijk blijft, maar de onderlinge
verhouding van de groottes.
Ten opzichte van de grondnoot hebben n octaven hebben verhouding van
2n / 1.
Een reine kwint heeft een verhouding 3/2 ten opzichte van de
grondtoon.
n kwinten hebben dus een verhouding
(3/2)n
ten opzichte van de grondtoon.
Teller en noemer worden snel heel groot en laten zich niet vereenvoudigen tot
simpele breuken.
12 kwinten komen nu niet meer overeen met 7 octaven.
|
De verhouding tussen 12 kwinten en 7 octaven noemt men het komma van Pythagoras.
|
Kwinten en tertsen
Het verhaal van kwinten en tertsen is een gelijkaardig verhaal.
Vanuit kwinten een breukverhouding vinden voor tertsen lijkt een eenvoudige som
van breuken.
En weer is het rekenen met machten de reden dat ook dit niet lukt.
lineair model:
| do | do# | re | re# | mi | fa | fa# | sol | sol# | la | la# | si | do |
| 0 | 1/12 | 2/12 | 3/12 | 4/12 | 5/12 | 6/12 | 7/12 | 8/12 | 9/12 | 10/12 | 11/12 | 12/12 = 1 |
In de chromatische toonladder is de terts (mi) de 4e trap en de kwint (sol)
de 7e.
Je vindt gemakkelijk hoe een geheel aantal kwinten kan samenvallen met een
geheel aantal tertsen
door de twee schuifknoppen te verslepen.
exponentieel model:
De frequentie van het octaaf is 2 maal deze van de grondtoon.
Bij elke toontrap vermenigvuldigen we de frequentie met 2(1/12) .
Binnen het octaaf tellen we dus niet lineair van 0 tot 1, maar exponentieel van
1 tot 2.
| do | do# | re | re# | mi | fa | fa# | sol | sol# | la | la# | si | do |
| 1 | 21/12 | 22/12 | 23/12 | 24/12 | 25/12 | 26/12 | 27/12 | 28/12 | 29/12 | 210/12 | 211/12 | 212/12 = 2 |
Een reine kwint heeft een verhouding 3/2 ten opzichte van de
grondtoon.
n kwinten hebben dus een verhouding (3/2)n
ten opzichte van de grondtoon.
Een reine terts heeft een verhouding 5/4 ten opzichte van de
grondtoon.
n tertsen hebben dus een verhouding
(5/4)n
ten opzichte van de grondtoon.
Teller en noemer worden snel heel groot en laten zich niet vereenvoudigen tot
simpele breuken.
4 kwinten komen nu niet meer overeen met 7 tertsen of m.a.w. de terts van het
tweede octaaf.
De 4 kwinten komen hoger uit dan de 7 tertsen.
Wanneer we de terts berekenen vanuit gestapelde kwinten krijgen we als
verhouding (3/2)4: 4 = 81/64 = 1,2656
Een reine terts heeft als verhouding 5/4 = 1,25.
De verhouding tussen beide noemen we het syntonische komma.
|
De
verhouding tussen de terts, berekend vanuit gestapelde
kwinten, en de reine terts
|
-