een muzikale zoektocht wiskunde-interactief.be

Kerktoonladders
"Zing of speel eens een toonladder".
De kans is groot dat je op deze vraag iets te horen krijgt als do - re - mi -fa - sol -la - si - do.

Deze zogenaamde 'grote tertstoonladder' is een opeenvolging van 7 stamtonen do-re-mi-fa-sol-la-si.
Wanneer we een toonladder zingen, plaatsen we spontaan dezelfde afstanden van hele en halve tonen
op dezelfde plaatsen in de toonladder, met welke toon we ook beginnen. 
Zo zingen we 'la - si - do# - re - mi - fa# - sol# - la' zonder te moeten nadenken over toonafstanden.
In de middeleeuwen kende men deze opeenvolging, maar men ging er ander mee om.
In de middeleeuwse kerktoonladders hangt de afstand tussen de tonen niet af van de plaats binnen de toonladder.
Wanneer een toonladder begint met een andere toon dan do worden tonen niet verhoogd of verlaagd.
De volgorde waarin hele en halve tonen elkaar afwisselen hangt dus af van de begintoon.

De reine stemming kent grote en kleine hele tonen, afhankelijk van de plaats in de toonladder.
Een 'juiste' reine stemming in C klinkt vals in een andere toonaard, omdat de verhoudingen niet meer kloppen.
Omdat in de kerktoonladders de afstanden niet afhangen van de plaats in de toonladder kennen ze dat probleem niet.
Is de toonladder juist gestemd in C, dan klinken meteen ook alle andere toonaarden juist.

Renaissance - de terts verschijnt
In de 16^e eeuw schrijven componisten als Lassus heel vernieuwende muziek.
De steunpunten van zijn composities zijn samenklanken die niet alleen op kwinten en octaven gebaseerd zijn,
maar op drieklanken, gevormd door grondtoon – terts – kwint.  
De terts wordt niet langer vermeden als ‘vals klinkend’, maar wordt juist een middel om een samenklank te kleuren.
Tot op vandaag blijft de samenklank grondtoon – terts – kwint de basis waarop gecomponeerd wordt,
zowel in de klassieke muziek als in basisgitaarakkoorden.

Het probleem dat tertsen, kwinten en octaven nooit samen als rein kunnen gestemd worden, was al lang bekend.
Maar het is nu pas dat het echt een probleem wordt.  De reine stemming liet de afhankelijkheid van kwinten los
en definieert een tertsverhouding gewoon als 5/4. Hierdoor is elke hele toonafstand niet meer even groot en
kan je niet zomaar veranderen van toonaard. Muziekwetenschappers en wiskundigen staan voor een grote uitdaging.
Is er een mogelijkheid om rein te spelen en toch muziek te kunnen maken in verschillende toonaarden?
Ze volgen hierbij twee sporen:

1. We zoeken een systeem waar zoveel mogelijk tonen rein klinken en laten tonen in verafgelegen toonaarden vals.
Deze stemmingen noemen we ongelijkzwevend, want de onzuiverheden zijn niet voor alle tonen gelijk.

2. Om in alle mogelijke toonaarden te kunnen spelen verdelen we de onzuiverheden gelijk over alle tonen.
Deze stemmingen noemen we daarom gelijkzwevend.
Een systeem waarin in elke toonaard elke toonafstand gelijk is, werd al in die 16^e eeuw uitgewerkt als theoretisch concept,
maar men zal er enkele eeuwen over doen eer het  algemeen ingang vindt in onze ‘gelijkzwevende stemming’.

Renaissance - de terts verschijnt
De tertsen, die vanaf de renaissance op de voorgrond verschijnen, krijgen nu ook meer wiskundige aandacht.
“Hoe krijg je binnen een werkbaar toonsysteem een terts rein?” wordt de kernvraag.
In middentoonstemmingen willen we de terts rein, maar zonder de kwintafhankelijkheid op te geven.
De middentoonstemming lijkt ei van Columbus voor het stemmingsprobleem.
In plaats van (zoals Pythagoras) vast te houden aan reine kwinten en de reine tertsverhouding op te geven,
draait men de rollen om. Men geeft de reine kwintverhouding op om reine tertsen te krijgen.

Dat kan enkel gerealiseerd worden door de kwint iets kleiner te maken.
Een rekensom: Hoe groot moet een kwint zijn zodat 4 kwinten : 2 octaven uitkomt op 5/4?


Oplossing: De kwintverhouding moet dus iets verkleind worden, nl. van 3/2 (= 1,5) tot ⁴√5 = 1,4953
Dit is wiskundig mooi gevonden, want de tertsverhouding komt nu perfect uit op 5/4:
4 kwinten : 2 octaven wordt nu immers  =   ⁴√5 x  ⁴√5 x  ⁴√5 x  ⁴√5 :4 = (⁴√5)⁴  : 4 = 5 : 4.
Resultaat:
- De terts is perfect rein.
- De kwint is iets te klein maar wijkt nauwelijks af van de 3/2 verhouding.
- Alle afstanden kunnen berekend worden vanuit de kwint.
- De afstanden C-D en D-E zijn even groot en niet meer grote en kleine zoals in de reine stemming.
- Omdat de kwint niet helemaal perfect is, verschilt de klankkleur van de verschillende toonaarden.
  Dit wordt bewust gebruikt door componisten in de keuze van een toonaard.

In volgende tabel kan je het resultaat van deze middentoonstemming aflezen.

toontrap	berekening door kwinten	verhouding frequenties		frequentie la = 440 Hz	frequentie rein	frequentie gelijkzwevend
prime (C)	C	1/1	1/1	440 Hz	440 Hz	440 Hz
secunde (D)	C - G - D 2x kwint : 1 octaaf terug	4√5 x 4√5 : 2	1,118	492 Hz	495 Hz	494 Hz
terts (E)	C - G - D - A - E 4x kwint : 2 octaven terug	(4√5)4 : 4	5/4	550 Hz	550 Hz	554 Hz
kwart (F)	F - C dalende kwint van octaaf	2 : 4√5	1,3375	588 Hz	587 Hz	587 Hz
kwint (G)	C - G	4√5	1,49535	658 Hz	660 Hz	659 Hz
sext (A)	C - G - D - A 3x kwint : 1 octaaf terug	(4√5)3 : 2	1,672	735 Hz	733 Hz	740 Hz
septime (B)	C - G - D - A - E - B 5x kwint : 2 octaven terug	(4√5)5 : 4	1,87	822 Hz	825 Hz	830 Hz
otaafc (C)	C - C	2/1	2/1	880 Hz	880 Hz	880 Hz

en zo klinkt het:

In de kwintverhouding  ⁴√5 wordt de kwint met 1/4 van een komma (= 1/9 van een hele toon) verkleind.
De correcte benaming is daarom de 1/4 komma-middentoonstemming.
Want er bestaan ook 1/5 en 1/6 komma middentoonstemmingen waarbij de kwint minder sterk verlaagd wordt.
Dit zijn compromissen tussen kwint en terts. De tertsen klinken minder zuiver, maar de kwint dan weer iets zuiverder.   


Barok - de middentoonstemming 'bijgestemd'
Waarom deze alternatieven als met een kwintverhouding ⁴√5 de terts rein klinkt en dus alles in orde lijkt?
Met een kwintverhouding 3/2 komen 12 kwinten uit op (3/2)¹² = 129,7 tegen (2/1)⁷ = 128 voor 7 octaven.
De kwint is dus te groot en de kleinere middentoonkwint lijkt een goed middel om dit te verhelpen.
Maar met een kwintverhouding  ⁴√5 komen 12 kwinten uit op ( ⁴√5)¹² = 125 ...
wat dan weer dramatisch te klein is.

Silbermann
De 18e eeuwse orgelbouwer Silbermann besluit de kwint iets minder te verlagen dan de 1/4e komma.
De terts is nu niet helemaal rein, maar de kwintencirkel sluit op het eind beter aan.
Werckmeister
Een tweede alternatief is  ⁴√5 aan te houden, maar ze niet op alle kwinten toe te passen.
Eveneens begin18e eeuw past Werckmeister deze methode toe.
Hij gebruikt in zijn kwintencirkel 4 middentoonkwinten en 8 reine kwinten.
Voor het totaal van 12 kwinten is het resultaat: (⁴√5)4 . (3/2)⁸ = 128,14 tegenover 128 voor 7 oktaven.
Zijn verdeling van de kwintverhoudingen binnen de kwintencirkel is:

C - G	G - D	D - A	A - E	E - B	B - Fis	verder
4√5  middentoon	4√5  middentoon	4√5   middentoon	3/2         rein	3/2         rein	4√5  middentoon	6 keer 3/2 rein

De middentoonkwinten sluiten niet op elkaar aan.
Voor de terts C - E krijg je nu door een opeenstapeling van 3 middentoonkwinten en 1 reine kwint.
Ze heeft een verhouding (⁴√5)³ . (3/2) : 4 = 1,254  wat nauwelijks meer is dan de reine verhouding 1,25.
Door de schikking van de 4 middentoonkwinten neemt de nauwkeurigheid van de tertsen af voor tertsen die
verder in de kwintencirkel liggen.
- Voor de tertsen op G en D krijg je  (⁴√5)² . (3/2)² : 4 = 1,258 i.p.v. het reine 1,25.
- Voor de tertsen op A, E en B krijg je  ⁴√5 . (3/2)³ : 4 = 1,262.
- Voor alle andere tertsen krijg je  (3/2)⁴ : 4 = 1,266.
Met deze stemming kan je alle toonaarden spelen omdat de verschillen met de reine afstanden klein blijven.
De verschillende combinaties van grotere en kleinere tertsen en/of kwinten geven elke toonaard zijn eigen kleur.
Enkele van deze ongelijkzwevende stemmingen worden meer gedetailleerd vergeleken op barokstemmingen. 

In zijn werk 'Ideen zu einer Aesthetik der Tonkunst' uit 1806 associeerde de Duitse auteur Christian Schubart de
verschillende toonaarden met verschillende gevoelens:

Voortekening:

/ 3b 1b 4# 2# 1b 3b 6# 4# 1# 1b 4b 6# 3# 1# 2b 4b 7b 3# / 2b 5b 5# 2#

C: puur, onschuldig, naïef c klein: smachtend zuchten van de naar liefde verlangende ziel. Dmol: sluw, maar ook smartend en vervoerend. kan niet lachen maar glimlachen, niet janken maar heeft een wenende grimas. een toonaard voor ongewone karakters en gevoelens c# klein: boetende klaagzang, intieme conversatie met God, zuchten naar ontgoochelende vriendschap. D: triomf, victorie, marsen, vakantieliederen en hemelbezingende koorzang d klein: melancholieke vrouwelijkheid Emol: liefde en toewijding d# klein: angstgevoelens en wanhoop. Als geesten konden spreken, zouden ze deze toonaard gebruiken. E: uitbarsting van vreugde en genot maar nog niet volledig geluk e klein: naïeve, vrouwelijke liefdesverklaring, zuchten met enkele tranen, hoop op het geluk van toonaard C F: minzaamheid en kalmte f klein:diepe depressie, sombere klaagzang en verlangen naar het graf F#: triomf van de overwinning na een zware strijd f# klein: dreigend als een hond die zich vastbijt G:rustiek, idyllisch, lyrisch, de kalmte van voldane passie, dankbaarheid voor trouwe vriendschap en liefde, alle vredevolle emotie van het hart g klein: ontevreden, zorgen makend, slecht gehumeurdheid, wrok Amol: toonaard van het graf, het Laatste Oordeel en de eeuwigheid amol klein: mopperend, klagend, alles wat te maken heeft met het vechten tegen moeilijkheden A: verklaring van onschuldige liefde, tevredenheid, hoop op het weerzien bij het afscheid, godsvertrouwen a klein: vrome vrouwelijkheid en tederheid Bmol: opgewekte liefde, hoop op een betere wereld bmol klein: nors, spottend met God, ontevredenheid met zichzelf en alles, zelfmoordgedachten B: felgekleurd, wilde passies aankondigend, woede, jaloersheid, wanhoop en al wat op het hart drukt B klein: geduldig, het lot afwachtend

In toonaarden met minder wijzigingstekens benaderen de tonen van de toonaard beter de reine verhoudingen.
Een componist zal dus toonaarden met veel wijzigingstekens vermijden ... tenzij hij juist een expressief effect
wil bereiken met toonafstanden die minder rein klinken.
Toonaarden met veel wijzigingstekens worden dan ook niet zomaar geassocieerd met passie, woede of dood.

Barokcomponisten als J.S. Bach buiten dit verschil expressief uit door telkens de 'geschikte' toonaard te kiezen. In de Mattheuspassie, waarin Bach het lijdensverhaal van Christus verklankt in een 3 uur lange compositie, volgen objectief vertellen, kwaadheid, verdriet, bezinning elkaar af. Bach schrijft zijn compositie niet in één vaste toonaard, maar volgt de gevoelens van de tekst. Voor de verhalende passages gebruikt hij toonaarden met slecht 1 of 2 wijzigingstekens. De meest expressieve passages staan in minder gebruikelijke toonaarden met meer wijzigingstekens. Voorbeelden zijn het stuk waar de dood van Jezus beschreven wordt en de koorpassages waarin de onschuld van Jezus in contrast geplaatst wordt met de zondigheid van de mens.

31-tonensysteem van Christiaan Huygens
Een tweede benadering is: "Kunnen we een oktaaf zo onderverdelen dat alle toontrappen gelijk zijn en tegelijk
rein (of toch minstens zo rein mogelijk) klinken?"
Net zoals in de tijd van Pyhtagoras zijn het ook nu wiskundigen en natuurkundigen die aan de kar trekken,
zoals de vader van Galileo Galilei, Simon Stevin, Christiaan Huygens, Descartes en Leonard Euler.
Hun benadering komt er op neer een oktaaf in zoveel stapjes onder te verdelen dat de kwint samenvalt
met een van die stapjes en liefst ook de kwart en de terts.

Huygens gebruikt een kettingbreuk om de kwintverhouding ⁴√5  van de middentoonstemming  te noteren.


De gedachte achter de kettingbreuknotatie is dat een reëel getal de som is van een geheel getal en een getal
tussen 0 en 1. Dit deel kan geschreven worden als een breuk.
Deze breuk schrijven we als het omgekeerde van zijn omgekeerde: a/b = 1/(b/a).
Het uitwerken van b/a geeft weer een decimaal getal, enzovoort.
Zo ontstaat een kettingbreuk.
Elke stap in de benadering noemt men een convergent en vormt een breukbenadering van het decimaal getal.
Huygens vond de breuken: 1/2  3/5  4/7  7/12  11/19  18/31  101/174  119/205.
Meer uitleg over kettingbreuken en de benadering van Huygens vind je op de kettingbreuk van Huygens

Je kan een oktaaf dus onderverdelen in 205 stapjes, maar instrumenten maken met deze verdeling is wat anders.
Huygens stelt voor om een oktaaf in 31 toontrappen te verdelen,
zodat je op elk instrument muziek kan spelen in om het even welke toonaard.
Joan Albert Ban, priester en bevriend met Descartes en Huyghens, ontwikkelde het "Volmaekte Klaeuwier".
Omdat de afstand tussen de tonen en de omvang niet te groot zou worden, ontwerpt hij tussenliggende toetsen
die boven elkaar liggen in verschillende rijen.

De benaderingen van kwint, kwart en terts van Huygens zijn heel knap.

toontrap	verhouding Huygens	verhouding rein	frequentie Huygens	frequentie rein	frequentie gelijkzwevend
kwint	2(18/31) = 1,4955	3/2 = 1,5	658 Hz	660 Hz	659 Hz
kwart	2(13/31) = 1,3373	4/3 = 1,333	588 Hz	587 Hz	587 Hz
terts	2(10/31) = 1,2505	5/4 = 1,25	550 Hz	550 Hz	554 Hz

Ban kon zo onzuiverheden opvangen zonder compromissen te doen, maar een succes werd zijn uitvinding niet.
Het instrument bleek toch niet zo praktisch.

De gelijkzwevende stemming in een toonladder met 12 stappen

Deze verdeling bleek een beter compromis tussen juistheid en het praktische.
De verdeling in 12 trappen is de gelijkzwevende stemming van onze chromatische toonladder:
do(1) - do#(2) - re(3) - mi(4) - fa(5) - fa#(6) - sol(7) - sol#(8) - la(9) - la#(10) - si(11) - do(12).
In 12 stapjes ga je van do naar do.

In deze gelijkzwevende stemming is bijvoorbeeld sol# gelijk aan lab en dat laat overgangen tussen toonaarden toe.
In grote orkestwerken als een symfonie werd het gebruikelijk om binnen een werk meerdere keren te veranderen
van toonaard en een hele evolutie van toonaarden uit te bouwen.
Maar ook in populaire muziek is het niet ongebruikelijk dat in een kort instrumentaal bruggetje de toonaard verandert
en een refrein nog een keer klinkt, maar nu een halve toon hoger.
Van fluiten en composities die beperkt waren tot een vaste toonaard evolueert dus tegelijk de muziektheorie,
de composities en de instrumenten tot een flexibel systeem van uitwisselbare toonaarden.
We gaven hierbij wel de absoluutheid van reine intervallen op...

Hoe verdelen we dan een oktaaf in 12?
Oktaven vinden we door de frequentie van een toon telkens te vermenigvuldigen met 2.
We zitten dus niet met een lineaire functie maar met een exponentiële functie.
De frequentie van opeenvolgende la's vind je als f_n = 440 . 2ⁿ
De tussenliggende tonen berekenen we als tussentrapjes van deze factor 2:

Gelukkig zijn er nog de zwevingen
Wat wordt dan het verschil tussen een dergelijke gelijkzwevende kwint en de niet gecorrigeerde?
De kwint van een la op 440 Hz is een mi, maar wat wordt haar frequentie?
Met de reine verhouding 3/2 komen we uit op f_mi = 3/2 . 440 = 660 Hz.
In de gelijkzwevende stemming is de kwint de 7e trap met als frequentie f_mi = 440 . 2^(7/12)  = 659.255 Hz
Het frequentieverschil tussen de reine en de gelijkzwevende toon geeft precies het aantal zwevingen dat je moet
horen wanneer je een piano gelijkzweving wil stemmen. Hier hoor je dus 0.745 zwevingen per seconde.
En zo blijken afwijkingen toch nog nuttig.
Volgend bestand illustreert hoe beide mi's klinken.
Apart lijken ze even hoog, maar samenklinkend hoor je de zwevingen.





Turkse klassieke muziek
Een verdeling in 12 is een mogelijke keuze, maar niet de enige.
Een mooi voorbeeld is de Turkse klassieke muziek.
Een oktaaf wordt hier in 53 gelijke stukjes verdeeld, die men 'koma' noemt.
Benaderingen voor de stamtonen worden berekend als 2^(.../53).
In volgende kolom kan je deze benaderingen vergelijken met reine en gelijkzwevende verhoudingen.
De verdeling in 53 trappen laat betere benaderingen toe dan een verdeling in 12 halve toontrappen.

Wanneer je naar de tellers van de breuken kijkt, dan zie je dat in deze benadering een hele toon
soms 9 koma's is, soms 8. De toonaard van C wordt dan:

toon

do

re

mi

fa

sol

la

si

do

aantal koma's

9

8

5

9

9

8

5

interval

grote hele toon

kleine hele toon

halve toon

grote hele toon

grote hele toon

kleine hele toon

halve toon

De reine tertsverhouding is kleiner dan een terts die afgeleid wordt uit de stapeling van 4 kwinten.
Het verschil noemt men de syntonische komma (ongeveer 1/9 van een hele toon).
In dit systeem van 53-en wordt de syntonische komma opgevangen door de Turkse koma.
Ze is nu geen afwijking meer, maar valt samen met het systeem van verdeling.
De hele toon tussen secunde (re) en terts (mi) wordt iets kleiner genomen.
Hetzelfde gebeurt met de si: als kwint van de reine terts is ze kleiner dan uit stapeling van 5 kwinten.
In ons systeem maakt een perfect reine stemming het onmogelijk om te veranderen van toonaard.
De verdeling met grote en kleine hele tonen blijft in andere toonaarden en wordt opgevangen door de voortekening
aan de sleutel die aangeeft welke tonen verhoogt of verlaagd moeten worden.
Een verlaagde halve toon is hierbij niet gelijk aan een verhoogde toon, en dat komt overeen met onze reine stemming.
In ons systeem komt een hele toon overeen met 9 komma's.
Een verhoging bedraagt 5 komma's, maar ook een verlaging bedraagt 5 komma's.
Dit verschil tussen b.v. een sol# en een lab hebben wij laten varen bij het toepassen van een gelijkzwevende stemming.
Turkse muzikanten kunnen deze Turkse koma verschil laten horen.
Op een viool wordt de vinger een klein stukje verschoven, op de ney-fluit bestaan zijn er aangepaste vingerzettingen.
Voor de wijzigingen van een komma bestaan aangepaste wijzigingsteken, zoals onze mollen en kruisen.

Het Turks systeem kent verschillende toonaardverdelingen.
Naast de verdeling die hierboven beschreven wordt, bestaat er ook een verdeling waar alle hele tonen wel gelijk zijn.
De oktaafverdeling gebeurt dan in stappen van 9 - 9 - 4 - 9 - 9 - 9 - 4 koma's.
Net zoals in ons systeem wijkt deze stemming in terts en septiem iets meer af van de reine stemming.
Maar ook hier kan het verschil tussen sol# en lab gespeeld worden.

Octaafverdeling in cents
rekenen met machten
Rekenen met breuken en verhoudingen is niet zo handig.
De gelijkzwevende stemming laat een veel handigere manier van rekenen toe.
Alle toontrappen zijn te schrijven als machten van 2.
Voor het rekenen met machten weten dat a² . a³ = a²⁺³ = a⁵ en a⁷ : a² = a^7-2 = a⁵.
Vermenigvuldigen komt neer op het optellen van de exponenten, delen op aftrekken van de exponenten.

stapelen van kwinten
Een kwintverhouding is gelijk aan 2^(7/12)
Een stapeling van twee kwinten heeft een verhouding van 2^(7/12) . 2^(7/12) = 2^(7+7)/12   =  2^(14/12) 
Een stapeling van vier kwinten heeft een verhouding van 2^(7/12) . 2^(7/12) . 2^(7/12) . 2^(7/12)  = 2^(7+7+7+7)/12  
Optellen en aftrekken van het aantal twaalfden is veel gemakkelijker om te rekenen.
Voor elke toonafstand moeten we gewoon zeggen over hoeveel 12-en het gaat.
Voor tussenliggende tonen is het bovendien handiger om komma's te vermijden en daarom te in 100sten te rekenen.

verhoudingen in een gelijkzwevende stemming
Elke halve toonsafstand komt overeen met 2^(1/12) of 100 cents.
secunde = 200 cents
terts = 400 cents
kwart = 600 cents
kwint = 700 cents
sext = 900 cents
septiem = 1100 cents
Een octaaf wordt dan 1200 cents.

Op deze manier kunnen we i.p.v. met machten en wortels van breukverhoudingen terug lineair werken.
Verhogen wordt niet meer breuken vermenigvuldigen maar cents bijtellen.
Een verschil van 8 cents t.o.v. een toon is bovendien voor elke toon even groot.
Zo kunnen we afwijkingen op welke toonhoogte ook beter vergelijken.
30 Hz verschil is meer t.o.v. 440 Hz dan 30 Hz t.o.v. 880 Hz.
Maar 10 cent t.o.v. een secunde is even veel als t.o.v. een septiem.
De verdeling in cents wordt ook toegepast op stemapparaatjes.

hoe omzetten van willekeurige verhoudingen naar cents
Het omgekeerde van een macht noemt men wiskundig 'logaritme'.
'De hoeveelste macht van 2' schrijven we als ²log.
Een gelijkzwevende kwint, de 7e stap op 12 halve tonen is gelijk aan 700 cents.
Een reine kwint, de n-de stap op 12 halve tonen in een octaaf heeft als verhouding 3/2.
n/12 is dus de macht waartoe we 2 moeten verheffen om op 3/2 uit te komen.
Wiskundig zeggen we: n/12 = ²log (3/2).
Hieruit vinden we: n = 12 . ²log (3/2).
In cents uitgedrukt is een reine kwint gelijk is aan n = 1200 . ²log (3/2).

2-logaritmen staan niet op een rekenapparaatje maar je kan ze uitrekenen met een kleine omweg.
Volgens rekenregels van logaritmen is  ²log(a) = log(a) : log(2)
Een reine kwintverhouding is dus gelijk aan 1200 . ²log(3/2) = 1200 . log(3/2) : log(2) = 702 cents.

hoe omzetten van een afwijking in cents naar een frequentie in Hz
Toonafstanden bereken je als een macht van 2.
In de gelijkzwevende stemming is de exponent van deze macht een breuk met noemer 12.
De afwijking in cents vul je in als de teller van deze exponent, de noemer wordt 1200 i.p.v. 12.
Een toon die 10 cent hoger is dan een toon van 440 Hz heeft een frequentie van 440 . 2^(10/1200)= 442,55 Hz.
Deze berekening kan je ook met negatieve afwijkingen maken.
Een toon die 10 cent hoger is dan een toon van 440 Hz heeft een frequentie van 440 . 2^(-10/1200)= 437,47 Hz.

verhoudingen voor de reine intervallen
We kunnen nu elke frequentieverhouding omrekenen naar cents en vergelijken met de gelijkzwevende stemming
met volgende formule:

In volgende bestanden kan je verschillende berekeningen uitvoeren:

gelijkzwevende stemming extra
De gelijkzwevende stemming is geen wondertruc die alle problemen van stemmen en stemmingen oplost.
Er duiken zelfs heel wat problemen op.

melodisch denken en psychologie van uitvoerder en luisteraar
Een mens denkt niet gelijkzwevend. Een pianist is gebonden aan de stemming van zijn piano, maar zangers
en violisten niet. Nauwkeurige metingen van opnames van beroemde uitvoerders tonen aan dat ze in bepaalde
intervallen duidelijk afwijken van de theoretische toon binnen een gelijkzwevende stemming, zonder dat de toehoorder
een 'valse' toon waarneemt. Strijkkwartetten, blokfluit- en gambaconsorts zoeken reine verhoudingen op.
Reeds in zijn boek 'Harmonics or the Philosophy of musical Sounds' uit 1749 schrijft de Engelse wiskundige en
astronoom Robert Smith na heel wat berekeningen en uitweidingen over stemmingen en toonaarden doodleuk:

"The several parts of a concert wel performed upon perfect instruments do not move exactly by the given intervals of
any system whatever, but only pretty nearly, and so as to make perfect harmony as near as possible...
Now the reason why the best performers acquire a habbit of making perfect harmony as near as possible is plainly this.
When the harmony is made perfectly they are pleased and satisfied."

Je vindt het hele boek in facsimile online op Harmonics - Robert Smith
Bovenstaand fragment en verdere uitwijdingen over de muziekpraktijk vind je pag. 225 e.v.

M.a.w. een goede muzikant speelt met zijn oren en niet volgens ingewikkelde temperingen en formules.
Voila, van relativeringsvermogen gesproken...
Smith doet er zelfs nog een schepje bovenop met de raad "nooit gezongen partijen mee te spelen met het orgel,
tenzij om een 'imperfecte' zanger te begeleiden en hem zo er van te behoeden om nog slechtere samenklanken te zingen
dan het orgel zelf speelt."

Er is in de muziekpraktijk geen onomstotelijk vastliggende dogma voor een juiste intonatie en het menselijk oor vraagt het niet.
Tot er moet samengespeeld worden met een piano natuurlijk...
Geen wonder dat Beethoven de gelijkzwevende stemming helemaal niet zag zitten en Maurice Ravel ronduit zei dat een
viool en een piano niet konden samenspelen.

waargenomen boventonen verschillen van theoretisch model
Een theoretisch wiskundig model is een, in de praktijk duiken voortdurend randvoorwaarden op.
Geef een speelgoedautootje een zetje, zodat het begint te rollen.
De theorie zegt dat, wanneer er geen kracht wordt op uitgeoefend, het zal blijven voortrollen aan dezelfde snelheid.
Maar door de wrijving van de wieltjes en de rolweerstand met vloer of tafel, zal het niet ver bollen.
En begin die weerstanden maar eens te berekenen...

Zo is het ook met snaren. Een snaar heeft materie. Bij het strijken of plukken van een snaar wordt ze uitgerekt.
De vervorming roept een weerstand op in het materiaal en die stijfheid van een snaar heeft als gevolg dat de waargenomen
boventonen hoger klinken dan de berekende tonen in het theoretisch harmonisch model.
De afwijkingen nemen bovendien toe naarmate je verder gaat in de rij van harmonische tonen. M.a.w. hoe hoger de boventoon
hoe groter de afwijking. Deze boventonen veroorzaken een conflict met de tonen in de verst van het midden verwijderde octaven
van een piano.

psychoakoestiek
De psychoakoestiek onderzoekt hoe tonen worden waargenomen.
Het blijkt duidelijk dat hogere tonen als lager worden waargenomen dan hun reële toonhoogte.
De toonhoogte van een (zuivere) toon kan ook geschat worden. De resulterende toonhoogteschaal heet de mel-schaal.
Het verband tussen toonhoogte (mel) en frequentie (Hz) dat men zo krijgt is afgebeeld in onderstaande figuur.

Voor frequenties onder de 1000 Hz lopen toonhoogte (in mels) en frequentie (in Hz) gelijk. De helling van de grafiek = 1.
Rond de 1000 Hz treedt een overgang op naar een logaritmisch verband. Dit betekent dat de toonhoogte, uitgedrukt in mels,
steeds minder gaat toenemen wanneer de frequentie toeneemt.
Het verschijnsel is hoorbaar bij de hoogste octaven van een piano.
Het plaatje is eigenlijk nog ingewikkelder, omdat de subjectieve toonhoogte ook afhangt van de luidheid van de toon.
Een toon van 1000 Hz behoudt zijn subjectieve hoogte, onafhankelijk van de luidheid.
Maar voor lage tonen geldt: hoe luider hoe lager, voor hoge tonen hoe luider hoe hoger de subjectieve toonhoogte.
Bovendien is de relatie tussen luidheid en toonhoogte anders voor sinustonen dan voor complexere (harmonische) tonen...
Een bijkomend psychoakoestisch verschijnsel dat we kwijtraakten met de gelijkzwevende stemming zijn de verschiltonen,
waarbij we bij harmonisch samenklinkende tonen een derde toon lijken te horen, met als frequentie het verschil van de
frequenties. Voorbeeld: een la (440 Hz) en een mi (660 Hz) brengen een verschiltoon voort van 220 Hz.
Dit toon wordt niet gespeeld, het zijn onze hersenen die deze bijkomende toon produceren.
Maar wanneer je harmonische tonen opgeeft om het toonsysteem eenvoudiger te maken, verlies je dit fenomeen.
Luister maar eens naar een gamba consort dat in reine stemming renaissance muziek speelt ...
M.a.w. Geluidswaarneming wordt niet alleen bepaald door wat muzikanten echt spelen.
Ook onze oren en onze hersenen spelen een belangrijke rol.

kwinten in hoogste octaven
Dat reine kwinten en reine octaven niet samen gaan, dat wist je al.
Voor een la met een frequentie van 440 Hz is de gelijkzwevende stemming geen probleem.
Een reine kwint van deze toon heeft een frequentie van 440 . 3/2 = 660 Hz.
Een gelijkzwevende kwint van deze toon heeft een frequentie van 440 . 2^(7/12) = 659.3 Hz.
Dit verschil van 0.7 Hz is niet waarneembaar door het menselijk oor.
Het waarneembare verschil tussen toonhoogten (= de frequentieresolutie) bedraagt ongeveer 2 Hz.
Maar elk octaaf hoger zal dit verschil verdubbelen.
Je merkt dat het verschil tussen de reine en de gelijkzwevende kwint al snel merkbaar wordt.

la	. 3/2	. 2(7/12)	verschil
440 Hz   880 Hz  1760 Hz  3520 Hz	660 Hz  1320 Hz  2640 Hz  5280 Hz	659.3 Hz   1318.5 Hz      2637 Hz   5274 Hz	0.7 Hz   1.5 Hz    3 Hz    6 Hz

een pianostemmer moet oren hebben
Heb je geen ervaring in het stemmen van een piano probeer je het zelf een eenvoudig stemapparaatje, dan zal het resultaat
pover zijn, ook al is er niets mis met het apparaatje.
Het probleem is het verschil tussen het theoretisch model van de gelijkzwevende stemming zelf en de praktijk.
Hogere tonen klinken te laag, boventonen klinken te hoog en gelijkzwevende kwinten komen te laag uit...
Een pianostemmer gaat daarom de uiterste octaven van het pianoklavier lichtjes uitrekken.
De hoogste tonen wordt hoger gestemd dan in het theoretische model, de laagste lager.
De stijfheid van snaren is materiaaleigen. Ze is ook belangrijker in kortere piano's dan in langere.
En ook de psychoakoestiek laat zich niet zomaar vertalen in vaststaande formules.
We kunnen wel berekenen hoeveel groter je een octaaf moet maken om een kwint rein te maken.
De vergelijking wordt: x^7/12 = 1.5
De oplossing is x = 1.5^12/7 = 2.0039
Pas je dit bv. toe op een la van 1760 Hz, dan wordt het octaaf 1760 . 2.0039 = 3526.8 Hz i.p.v. 3520 Hz.
De kwint van een la 1760 Hz wordt nu wel perfect rein.
De net iets hoger gestemde tonen klinken ook aangenamer en briljanter.
Een pianostemmer moet niet alleen een pianosleutel hebben en een stemapparaat, maar vooral oren.
Niet alleen Pythagoras stuitte op de grenzen van een mooi theoretisch model...
Ook het wiskundig model van de gelijkzwevende stemming heeft zijn grenzen.
Pianofabricant Steinway heeft zijn topstemmers, concerthuizen laten niet de eerste de beste stemmer komen.
Sommige concertpianisten zweren bij een vaste stemmer, terwijl de Franse toppianist Alexandre Tharaud zelfs
geen piano heeft staan. Hij oefent bij vrienden om zich niet te fixeren op het geluid van één piano op één plaats.

naar startpagina  naar sitemap    sinusfuncties en geluid samenklanken   boventonen-zwevingen Pythagoras  komma van Pythagoras barokstemmingen  Huygens  in klank en beeld

ME: kerktoonladders Renaissance: de terts middentoonstemming  Barok  31-tonensysteem Toonladder 12 trappen  Turkse muziek Verdeling in cents  gelijzwevende stemming