barokstemmingen wiskunde-interactief.be

Het geheel rond sinusfuncties, geluid en muziek is uitgewerkt op acht pagina's:
-
van sinusfuncties tot een toonsysteem schetst de natuurkundige en wiskundige basis van geluid.
-
samenklanken en verhoudingen beluistert en onderzoekt het resultaat van samenklinkende geluiden.
-
boventonen en zwevingen onderzoekt het voorkomen van natuurlijke boventonen en het waarnemen
  van zwevingenbij tonen die nauwelijks van elkaar verschillen.
-
de kwinten van Pythagoras ontleedt hoe Pythagoras vanuit kwintverhoudingen een toonladder opbouwt.
-
het komma van Pythagoras' ontleedt hoe Pythagoras vanuit kwintverhoudingen een toonladder opbouwt.
-
een muzikale zoektocht' volgt de muziekgeschiedenis in zijn zoektocht naar welluidendheid.
barokstemmingen' ontleedt enkele pogingen om nieuwe oplossingen te vinden voor nieuwe muzikale wensen.  
-
de kettingbreuk van Huygens' ontleedt Huygens' berekeningen om een 'juister' klinkende toonladder uit te bouwen.

Extra: partituurfragmenten en youtube-filmpjes illustreren de theorie.

- de zoektocht in klank en beeld:

opmerking over het afspelen van geluid:
GeoGebra is in de eerste plaats een fantastisch wiskundeprogramma maar geen gesofisticeerd keyboard.
Verschijnt er bijvoorbeeld in een grijs scherm een foutmelding over het afspelen, herlaad dan gewoon de pagina en
klik gewoon opnieuw op 'speel'. Doe hetzelfde wanneer je het afspelen van een geluid niet kan stoppen.
Hoor je geen geluid, probeer dan eens een andere browser...
Zelfs met deze gebreken is het een unieke manier voor wiskundigen om iets over muziek te leren en omgekeerd
.

Muziekwetenschappers en wiskundigen zoeken oplossingen voor de problemen die zich stellen
met de stemming van Pythagoras en de reine stemming.
We verlopen nog een keer de problemen en verkennen enkele oplossingen die uitgewerkt werden door
Rameau, Werckmeister, Kirnberger en Valotti.
De meesten van hen werkten meer dan een voorstel uit.
De uitwerking van Werckmeister is eigenlijk Werckmeister III (van 6 uitwerkingen) en Kirnberger is Kirnberger III.

Stemming van Pythagoras en de reine stemming
uitgangspunt    Tonen verhouden zich als gehele getallen
realisatie    Alle afstanden worden opgebouwd vanuit de reine kwintverhouding 3/2
probleem    Kwinten sluiten niet aan op oktaven en tertsen.
  Een terts die opgebouwd is vanuit een kwint is niet rein en klinkt te hoog.
muziek   - veel samenklanken van kwinten.
 - tertsen worden vermeden

In de reine stemming wordt de kwintafhankelijkheid van de terts opgegeven.

uitgangspunt   De kwintafhankelijkheid van de terts opgegeven.
realisatie   Secunde en kwart worden opgebouwd vanuit de reine kwintverhouding 3/2.
  De terts krijgt de reine verhouding 5/4.
  Sext en septime worden opgebouwd vanuit de terts.
probleem   Een toonladder bestaat uit grote en kleine halve tonen.
muziek   Een muziekstuk staat in de toonaard waarin het instrument rein gestemd is.

De afstand do - re is een grote hele toon met verhouding 9/8.
De afstand re - mi is een kleine hele toon met verhouding 10/9.
De verhouding tussen beide noemen we het syntonische komma = 81/80.


Middentoonstemming
Door de kwintafhankelijk van tertsen op te geven werden de tertsen wel terug rein,
maar sloot men zich op in een toonaard.
Een grotere vrijheid tussen toonaarden is slechts mogelijk met tertsen, bepaald door de kwint.
De enige mogelijkheid om tertsen terug rein(er) te krijgen is dus de kwint te verkleinen.
Dit noemt men
temperen.
De middentoonstemming verlaagt de kwint met 1/4 van een komma.
- Met het komma bedoelen we het syntonisch komma 81/80
- 1/4 van dit komma bereken je als 4√(81/80)
- De kwint verlagen met 1/4e komma bereken je als 3/2 : 4√(81/80)
De kwintverhouding wordt daarmee 3/2 :
4√(81/80) = 3/2 : 4√(34/24.5) =  3/2 : 3/2 . 4√5 = 4√5 = 1,49535
Dit is wiskundig mooi gevonden, want de tertsverhouding komt nu perfect uit op 5/4:
De terts verhouding is gelijk aan 4 kwinten : 2 oktaven =   4√5 x  4√5 x  4√5 x  4√5 :4 = (4√5)4  : 4 =
5 : 4.
Resultaat:
- De terts is perfect rein.
- De kwint is iets te klein maar wijkt nauwelijks af van de 3/2 verhouding.
- Alle afstanden kunnen berekend worden vanuit de kwint.
- De afstanden C-D en D-E zijn even groot en niet meer groot en klein zoals in de reine stemming.

uitgangspunt   De tertsen moeten afgeleid worden van de kwint en tegelijk rein klinken.
realisatie   De kwintverhouding 3/2 wordt verkleind met 1/4e komma tot  4√5 = 1,49535   
probleem   De kwintencirkel sluit zeer slecht. De sluitende kwint is veel te groot.
 Ze wordt wolfskwint genoemd en moet vermeden worden.
muziek   Het vermijden van wolfskwint beperkt nog de onafhankelijkheid van toonaarden.




Ongelijkzwevende stemmingen
Alle tertsen rein maken door de kwinten te verkleinen tot de middentoonskwint is niet te verzoenen met een vrijheid
van toonaarden. Omdat in de barokmuziek die vraag naar meer harmonische vrijheid groter wordt, moet ook hier
weer een compromis gezocht worden.
Dit compromis bestaat er in om het aantal verlaagde kwinten in de kwintencirkel te beperken.
In de 17e en 18e ontwikkelen diverse componisten uiteenlopende stemmingen.
Omdat alle kwinten in de kwintencirkel niet meer gelijk zijn, zullen ook de onderlinge verhoudingen tussen de
verschillende toontrappen in verschillende toonaarden niet meer gelijk zijn.
Je kunt dus niet zeggen: "zo klikt deze stemming", maar wel "zo klinkt deze toonaard in deze stemming."
Het uitgangspunt van elke poging is wel steeds hetzelfde:
- zo rein mogelijke tertsen in de meest gebruikte toonaarden
- een zo goed mogelijk aansluitende kwintencirkel om in zo veel mogelijk toonaarden te kunnen spelen.

 

Jean Philippe Rameau (1683 - 1764)


uitgangspunt   - zoveel mogelijk reine tertsen in de centrale toonaarden van de kwintencirkel
 - vermijden van de wolfskwint door niet alle kwinten te temperen.
realisatie   - 7 middentoonskwinten en 3 reine kwinten
 - twee licht overmatige kwinten om de kwintencirkel te sluiten  
resultaat    Er zijn 4 reine tertsen.
  De verhoudingen binnen de centrale toonaarden en de toonaarden die het
  verst verwijderd zijn van de C verschillen aanzienlijk.
verhoudingen van de tertsen in:
Bb, F, C en G: 5/4 = 1,25
D: (4√5)3 . 3/2 : 4 = 1,2539
A: (4√5)2 . (3/2)2 : 4 = 1,2578
E: 4√5 . (3/2)3 : 4 = 1,2617





Andreas Werckmeister (1645 - 1706)



uitgangspunt   - tertsen van centrale toonaarden zo rein mogelijk
  - het verschil tussen de toonaarden verkleinen
realisatie   4 middentoonskwinten in de kwintencirkel, maar niet aaneensluitend.   
resultaat    Geen enkele terts is helemaal klein, maar de meeste bijna.
  Verschillen tussen de toonaarden zijn kleiner.
verhoudingen van de tertsen in:
C en F: (4√5)3 . 3/2 : 4 = 1,2539
D, G en Bb: (4√5)2 . (3/2)2 : 4 = 1,2578
A, Eb,E en B: (4√5)2 . (3/2)3 : 4 = 1,2617



Johann Kirnberger (1721 - 1783)


uitgangspunt    De kwintencirkel zo goed mogelijk laten aansluiten.
realisatie    4 aaneensluitende middentoonskwinten worden aangevuld met een
  wat verderop geplaatste gelijkzwevende kwint.   
resultaat    De terts is rein op C en bijna rein op aansluitende toonaarden
  De kwintencirkel sluit zo goed als perfect aan.
verhoudingen van de tertsen in:
C: 5/4 = 1,25
F en G: (4√5)3 . 3/2 : 4 = 1,2539
D en Bb: (4√5)2 . (3/2)2 : 4 = 1,2578
A: 4√5 . (3/2)2 . 2(7/12) : 4 = 1,2603
E: (3/2)4 . 2(7/12) : 4 = 1,2642



Francesco Antonio Vallotti ( 1697 - 1780)


uitgangspunt    verschillen tussen de toonaarden verkleinen door de kwint minder te temperen.
realisatie    De kwintverhouding 3/2 wordt slechts verkleind met 1/6e komma tot  3/2 : 6√(81/80)= 1,4969   
resultaat    Geen enkele terts is helemaal rein.
  De 1/6e komma verkleinde kwint ligt dichter bij de reine kwint dan de middentoonskwint.  
  De verschillen tussen de toonaarden zijn beperkt.
verhoudingen van de tertsen met V= 1,4983 in:
F, C en G: V4  : 4 = 1,255
Bb en D: V3 . 3/2 : 4 = 1,2578
Eb en A: V2 . (3/2)2 : 4 = 1,2604
E: V . (3/2)3 : 4 = 1,2630
B: (3/2)4  : 4 = 1,2756

Vallotti verlaagt de kwint met 1/6 van een komma.
- Met het komma bedoelen we het syntonisch komma 81/80
- 1/6 van dit komma bereken je als 6√(81/80)
- De kwint verlagen met 1/6e komma bereken je als 3/2 : 6√(81/80)
De kwintverhouding wordt daarmee 3/2 :
6√(81/80) =  1,4969 



Vergelijking
We kunnen de afwijkingen t.o.v. de gelijkzwevende stemming het best vergelijken door ze uit te drukken in cent.
100 cent komt hierbij overeen met een halve toon in de gelijkzwevende stemming.
In volgende tabel lees je de waarden af voor twee toonaarden.
We starten in het centrum van de kwintencirkel met de toonaard in C (do groot).

toonaard C t.o.v. gelijkzwevend       secunde     terts     kwart     kwint     sext     septime  
rein +8 -14 -2 +2 -16 -12
middentoonstemming -7 -14 +2 -3 -10 -17
Rameau -7 -14 +2 -3 -10 -17
Werckmeister -7 -9 +2 -3 0 -6
Kirnberger -7 -14 +2 -3 -10 -12
Valotti -4 -7 +2 -2 -5 -8

Opvallend is dat de gelijkzwevende terts die we kennen veel hoger is dan in al de barokstemmingen.
Dit komt omdat gekozen wordt voor reine tertsen, die kleiner zijn dan in onze gelijkzwevende stemming.
Werckmeister en Vallotti kiezen voor iets minder reine tertsen om gemiddeld beter te scoren
over het geheel van de toonaarden. Ze gaan meer in de richting van een gelijkzwevende stemming.
toonaard E t.o.v. gelijkzwevend      secunde     terts     kwart     kwint     sext     septime  
rein +8 -14 -2 +2 -16 -12
middentoonstemming -7 -14 +2 -3 -10 -17
Rameau -1 +3 +2 -3 0 +4
Werckmeister -1 +3 +2 +2 0 +4
Kirnberger +4 +6 +3 +2 +4 +8
Valotti +1 +4 +2 -2 +2 +6

De toonaard E (mi groot) is in de kwintencirkel 4 stappen verwijderd van C.
De verschillen tussen de stemmingen vallen nu meer op, zeker in de tertsen.
Vallotti blijft ook hier heel dicht bij de gelijkzwevende stemming.
Het verschil tussen de afwijkingen in de toonaarden C en E is bij hem ook veruit het kleinst. 

stemmingen en muziek
In de stemming 1/6e komma getemperde stemming van Vallotti  zijn de onderlinge verschillen het kleinst.
De optie 'de absolute reine toon opgeven ten voordele van kleinere verschillen' gaat dan ook het meest in
de richting van een gelijkzwevende stemming, waarbij de verschillen gelijkmatig verdeeld worden over alle tonen.
Reine tonen worden opgegeven ten voordele van de flexibiliteit tussen toonladders.
In de 19e eeuw evolueert men geleidelijk in de richting van een gelijkzwevende stemming.

Zo wordt de opbouw van een symfonie steeds comlexer.
Beethoven en Mahler kunnen een hele evolutie opbouwen waarin ze meerdere keren van toonaard veranderen.
Schubert kan in zijn liederen strofen in een grote tertstoonladder afwisselen met een strofe in kleine terts
en in onze populaire muziek kan een laatste refrein zonder probleem een halve toon hoger klinken dan de vorige keren.
Dat tertsen en kwinten nu niet meer helemaal zuiver klinken wordt ook minder een probleem.
Het klavecimbel, dat rijk is aan boventonen, heeft zijn rol als klavierinstrument moeten afstaan aan de piano.
De piano is arm aan boventonen, zodat niet-helemaal rein klinkende tonen veel minder storen.
Inmiddels zijn we er zo gewoon aan dat we zelfs verbaasd opkijken wanneer we voor het eerst vernemen dat een
'goed' gestemde piano eigenlijk vals staat...

Misschien wordt het nu ook duidelijk dat 'Oude Muziek' spelen op historische instrumenten meer is dan nostalgie.
Renaissance- en barokmuziek steunt veel meer op de klankwereld van reine verhoudingen.
Daarom klinkt een blokfluitkwartet ook verrassend orkestraal een groot.
Componisten componeren in de klankwereld die ze kennen.
Die 'grote' klankwereld hebben we verlaten voor een vlakkere, uniforme klank waarbij we ons vrij en virtuoos kunnen
bewegen doorheen alle toonaarden.
Bach op klavecimbel en Mozart op pianoforte en Beethoven op een 19e eeuwse piano klinken dan ook anders
dan op een moderne, gelijkzwevend gestemde Steinway-vleugel.
Een organist die op historische orgels speelt, let er op welke muziek hij op welk instrument we of niet speelt.
Een blokfluitensemble heeft niet zonder reden zoveel verschillende instrumenten bij.
En misschien begrijp je nu waarom Ravel vond dat een viool en een piano niet samenklinken.
Een viool heeft de neiging om reine intervallen te spelen maar onze vleugel volgt haar daarin niet...

 


Bachs 'Das Wohltemperierte Klavier'
Wanneer we spreken over het spelen in verschillende toonaarden, kunnen we niet om Johann Sebastian Bach.
Hij componeerde in 1722 een reeks van preludes en fuga's in elk van de 24 mogelijke toonaarden
"ter gebruik door en ten bate van leergierige jongeren en als tijdverdrijf voor de geoefende muzikant".
Twintig jaar later, in 1742, schreef hij nog een tweede bundel. De twee bundels kennen we nu als een werk.

'Welgetemperd' betekent dat er geen intervallen voorkomen die absoluut moeten vermeden worden.
Op die manier werd het effectief mogelijk in elke mogelijke toonaard te spelen.
Er is al veel geschreven over de stemming die Bach hiervoor zelf gebruikte.
Vast staat dat Welgetemperd iets heel anders is dan de gelijkzwevende stemming die wij gebruiken.
Gelijkzwevend betekent dat het komma van Pythagoras gelijkmatig verdeeld wordt over elk van de 12 halve tonen.
In 'welgetemperde' stemmingen als Werckmeister III en Kirnberger worden ze ongelijk verdeeld.
Hierbij klinken de centrale toonaarden in de kwintencirkel zo rein mogelijk.
De verder verwijderde klinken 'aanvaardbaar'.

Voor Bach wordt hierbij vaak verwezen naar Werckmeister III.
In 2005 publiceerde Bradley Lehman een opmerkelijke theorie.
Bach zou op de titelpagina van zijn werk zelf een aanduiding getekend hebben over de stemming.

Nu zijn krulletjes niet ongewoon in geschriften van die tijd, maar Lehman plaatste er cijfers bij:



Elk krul staat voor een opeenvolgende kwint. De C van 'klavier' geeft de C (do) aan.
Een krul met een extra rondje staat voor een tempering met 1/12e komma van Pythagoras.
Een krul met twee rondjes staat dus voor een tempering met 2/12e komma of 1/6 komma van Pythagoras.
Als stemhulp zouden de 3 rechtse krulletjes staan voor 3 zwevingen per seconde tussen F en A.
Ter herinnering: 12 kwinten komen net iets hoger uit dan 8 octaven.
De verhouding 12 kwinten/7 octaven = 531441/524288 of 1,0136
Om de kwintencirkel te sluiten, moet dit komma verdeeld worden over een aantal van de 12 halve tonen.

In een kwintencirkel kan je zien hoe de puzzel klopt:
Bach verdeelt het komma in 5 maal 1/6 komma en 2 maal 1/12 komma.

De grootste afwijking in heel de kwintencirkel is 1/6 van een komma van Pythagoras:
uitgangspunt    Alle mogelijke toonaarden speelbaar maken.
realisatie    Het komma van Pythagoras wordt verdeeld over een aantal kwinten.   
resultaat    Zelfs voor de verst verwijderde kwinten klinken zowel kwinten als tertsen erg goed.
verhoudingen van de tertsen
F, C : (-1/6 PC)4  : 4 = 1,2542
Bb: (3/2) . (-1/6 PC)3  : 4 = 1,2570
Eb: (-1/12 PC) . (3/2) . (-1/6 PC)2  : 4 = 1,2585
D: (-1/6 PC)2 . (3/2)2 : 4 = 1,2599
A: (-1/6 PC) . (3/2)3 : 4 = 1,2628
E: (3/2)3 . (-1/12 PC) .  : 4 = 1,2649






 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

naar startpagina 
naar sitemap   
sinusfuncties en geluid
samenklanken  
boventonen-zwevingen
Pythagoras
muzikale zoektocht  
Huygens
   
in klank en beeld
Pythagoras en rein
middentoonstemming
ongelijkzwevende stemming
Rameau
Werckmeister
Kirnberger
Vallotti
vergelijking
stemming en muziek  
Wohltemperierte Klavier