de kwinten van Pythagoras wiskunde-interactief.be

Het geheel rond sinusfuncties, geluid en muziek is uitgewerkt op acht pagina's:
-
van sinusfuncties tot een toonsysteem schetst de natuurkundige en wiskundige basis van geluid.
-
samenklanken en verhoudingen beluistert en onderzoekt het resultaat van samenklinkende geluiden.
-
boventonen en zwevingen onderzoekt het voorkomen van natuurlijke boventonen en het waarnemen
  van zwevingenbij tonen die nauwelijks van elkaar verschillen.
-
de kwinten van Pythagoras ontleedt hoe Pythagoras vanuit kwintverhoudingen een toonladder opbouwt.
-
het komma van Pythagoras' ontleedt hoe Pythagoras vanuit kwintverhoudingen een toonladder opbouwt.
-
een muzikale zoektocht' volgt de muziekgeschiedenis in zijn zoektocht naar welluidendheid.
barokstemmingen' ontleedt enkele pogingen om nieuwe oplossingen te vinden voor nieuwe muzikale wensen.  
-
de kettingbreuk van Huygens' ontleedt Huygens' berekeningen om een 'juister' klinkende toonladder uit te bouwen.

Extra: partituurfragmenten en youtube-filmpjes illustreren de theorie.

- de zoektocht in klank en beeld:

opmerking over het afspelen van geluid:
GeoGebra is in de eerste plaats een fantastisch wiskundeprogramma maar geen gesofisticeerd keyboard.
Verschijnt er bijvoorbeeld in een grijs scherm een foutmelding over het afspelen, herlaad dan gewoon de pagina en
klik gewoon opnieuw op 'speel'. Doe hetzelfde wanneer je het afspelen van een geluid niet kan stoppen.
Hoor je geen geluid, probeer dan eens een andere browser...
Zelfs met deze gebreken is het een unieke manier voor wiskundigen om iets over muziek te leren en omgekeerd
.



Drie tonen
Omdat octaven en kwinten meeklinken in de natuurlijke boventoonreeks, vormen ze doorheen de geschiedenis
de basis van toonstelsels.
Vanuit een do als grondtoon zijn de sol en de fa belangrijke tonen.
De grondtoon do noemen we toontrap I.
De sol (toontrap V) is de stijgende kwint van de grondtoon
.
De fa(toontrap IV) is de dalende kwint van het octaaf.

Deze drie toontrappen I (do-C), IV (fa-F) en V (sol-G) vormen de basis van heel wat muziek.
Vraag het maar aan gitaristen. Met slechts drie akkoorden kan je heel wat populaire muziek begeleiden.
In de toonaard van C (do) zijn dit C, F en G.
In de toonaard van G (sol) zijn dit G, C en D
De drie toontrappen I - IV en V vormen ook de basis voor de klassieke harmonieleer.



Pentatonische toonladder
Zoals de naam doet vermoeden ('penta' is Grieks voor 5), is de pentatonische toonladder opgebouwd uit 5 tonen.

Stapel je vanaf de grondtoon C(do) 4 kwinten op elkaar, dan krijg je C - G - D - A - E.
Herleid je die tonen naar eenzelfde oktaaf, dan krijg je de opeenvolging C - D - E - G - A:


 

 

Een toonladder met 7 stamtonen
Pythagoras (6e eeuw v.C)  is er van overtuigd dat alles in de natuur kan beschreven worden in verhoudingen
van natuurlijke getallen.  Op de pagina sinus en geluid kan je lezen dat Pythagoras zich baseerde op de
verhoudingen tussen de frequenties van samenklinkende tonen.
De basisverhouding voor het toonsysteem is de frequentieverhouding 2 (= octaafverhouding).
Pythagoras stelt ook vast dat de verhouding 3/2 heel welluidend is (= kwintverhouding).
Deze twee verhoudingen gebruikt hij om het octaaf te verdelen.
Net zoals 'de vriend van mijn vriend is mijn vriend' stapelt hij kwintverhouding op kwintverhouding.
De opbouw van het toonsysteem steunt dus op volgende bewerkingen:
- Een octaaf verhogen = . 2
- Een octaaf verlagen = : 2
- Een kwint verhogen = . 3/2
- Een kwint verlagen = : 3/2

Pythagoras vertrekt van een grondtoon en de verhouding 3/2 tot de kwint.
De kwint
van de kwint wordt dan 3/2 x 3/2 enz.
Volg de opbouw van deze verdeling in onderstaand applet:



De opeenvolging van halve en hele tonen in onze toonladder is dus niet zomaar een willekeurige keuze.
Ze is het gevolg van een verdeling vanuit reine kwintverhoudingen.
Zouden we de twee halve toonafstanden samenvoegen de octaafafstand verdelen in 6 hele toonafstanden,
dan zou de toon met frequentieverhouding 3/2 niet eens in de toonladder zitten, terwijl ze juist de basis vormt. 
Het denken in frequentieverhoudingen 2/1 en 3/2 is universeel en volgt uit het voorkomen van boventonen.
De verdeling van een octaaf in hele en halve toontrappen is geen keuze van Pythagoras.
Ze is een gevolg de aanpak om het basisinterval te verdelen: het gebruiken van de 3/2 verhouding.
Dit is een culturele keuze, net zoals het aantal stamtonen waarmee men werkt.
Wij zijn gewoon om melodielijnen te maken met 7 stamtonen. Het hadden er ook 5 of 8 of 9 kunnen zijn.
Stop je niet bij 7 tonen, dan kan je verder gaan tot het octaaf verdeeld is in enkel halve toonafstanden. 
Maar dan begint het bouwsel van frequentieverhoudingen te wankelen.
Uit een pianoklavier zou je kunnen afleiden dat een interval van 12 kwinten gelijk is aan 7 octaven.
Want in kwintstappen belanden we na 12 kwinten op een si#.
Tussen si en do is maar een halve toon, dus de si# moet samenvallen met een do.

Maar dat blijkt toch niet zo mooi te kloppen als Pythagoras gehoopt had..
Want de frequentieverhouding van 12 kwinten wordt  (2)7=128 en die van 7 octaven (3/2)12
= 129.7.
Binnen een octaaf is deze afwijking zo gering dat de 3/2- verhouding als perfect welluidend wordt ervaren.
Het probleem stelt zich bij wel bij het blijvend opeenstapelen van kwinten.
En ook binnen een octaaf heeft het zware gevolgen.
Zo wordt de terts berekend vanuit 4 opeengestapelde kwintverhoudingen.
Omdat hierbij ook de (geringe) afwijkingen opgeteld worden, zal de terts hoorbaar te hoog klinken.
De tertsverhouding 81/64 (= 1.2656) klinkt niet welluidend, want die breuk komt niet voor in de reeks
van natuurlijke boventonen. In deze reeks komt wel de verhouding 5/4 (= 1.25) voor t.o.v. de grondtoon.
Pythagoras negeerde daarom zijn terts en steunde enkel op kwinten en octaven.


Oeps... een probleempje!
(of waarom een stapeling van kwinten niet in een geheel aantal octaven past...)
Tel je in trappen van halve tonen van grondtoon tot octaaf, dan krijg je volgende reeks:
do - do# - re - re# - mi - fa - fa# - sol - sol# - la - la# - si - do.
In deze reeks is de kwint (sol) de 7e trap van 12. en een octaaf de 12e trap.

Wanneer we spreken over ‘de kwint van de kwint van een grondtoon’, zeggen we dat we kwinten optellen.
Maar hiermee begeven we ons op glad ijs. Wiskundig zijn we immers helemaal niet aan het optellen,
maar vermenigvuldigen we een frequentie met een factor 3/2.
Dit is geen taalpurisme maar maakt een fundamenteel verschil.
Bij optellen tel je lineair, bij vermenigvuldigen exponentieel. We plaatsen beide modellen eens naast elkaar.

lineair model:
In gelijke stapjes van 0 tot 12 tellen we met elke toontrap telkens 1/12 bij.
do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do
   0      1/12      2/12      3/12      4/12      5/12      6/12      7/12      8/12      9/12      10/12      11/12      12/12 = 1  

exponentieel model:
De frequentie van het octaaf is 2 maal deze van de grondtoon.
Bij elke toontrap van een halve toon vermenigvuldigen we de frequentie met 2(1/12) .
We rekenen dus in een exponentieel verband met groeifactor 2(1/12).

do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do
  1        21/12      22/12      23/12      24/12      25/12      26/12      27/12      28/12     29/12      210/12      211/12      212/12 = 2  

Rekenen we met stappen van octaven, dan is er een exponentieel verband met groeifactor 2.
n octaven hebben verhouding van
2n ten opzichte van de grondtoon.

Een reine kwint heeft een verhouding 3/2 ten opzichte van de grondtoon
.
Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor  3/2.
n kwinten hebben een verhouding
(3/2)n ten opzichte van de grondtoon.

Elke wiskundige weet dat een macht van 3 altijd oneven is, en dus nooit gelijk zal zijn aan een macht van 2.
Een geheel aantal kwinten (verhouding 3/2) kan dus nooit gelijk zijn aan een geheel aantal octaven (verhouding 2/1).

  De verhouding tussen 12 kwinten en 7 octaven noemt men
  het komma van Pythagoras.
312  :   27 = 531441   : 128 =     531441   = 531441 =1,0136  
212 17 4096 4096 . 128 524288

Met andere woorden: 12 reine kwinten = 1,0136 keer 7 reine octaven

In ons toonsysteem komen we na 12 kwintstappen uit op een si#.
stapgrootte stappen verhouding
kwinten do . . . sol . . . re . . . la . .  mi . . . si . . . fa# . . . do# . . . sol# . . . re# . . . la# . . . mi# . . . si#    (3/2)12 = 129,75
octaven do . . . . . .   do. . . . . .   do. . . . . .   do. . . . . .   do. . . . . .          do. . . . . .     do. . . . . .      do (2/1)7 = 128

In ons toonsysteem is een do is een halve noot hoger dan een si. Een si# zou dus gelijk moeten zijn aan een do.
Maar rekenend in kwinten komen we iets hoger uit dan rekenend in octaven.
Is dat nu een probleem: één kommaatje na 7 octaven? 
Voor eenvoudige liedjes is dat inderdaad geen enkel probleem, maar wanneer je binnen één muziekstuk het tooncentrum
wil verleggen (= moduleren), ja dan kom je echt wel in de problemen. Want, al kom je een si# nog niet zo snel tegen,
een si# die verschilt van een do doet heel het systeem wankelen.
Want een la b is dan ook niet gelijk aan een sol#, een fa# niet aan een sol b enz.

Hoe het komt dat een la b niet gelijk is aan een sol# kunnen we illustreren door de kwintenrij uit te breiden:
Ab  -  Eb  -  Bb  -  F  -  C  -  G  -  D  -  A  -  E  -  B  -  F#  -  C#  -  G#
-4 
      -3      -2     -1              1      2      3      4      5       6       7        8

De Ab vinden we 4 kwinten onder de C. Deze herleiden we vervolgens naar het basisoctaaf van de centrale C.
De verhouding van deze Ab en de grondtoon C = 1 : (3/2)4 . 23 =
1,5802

De G# vinden we 8 kwinten boven de C. Deze herleiden we vervolgens naar het basisoctaaf van de centrale C.
De verhouding van deze G# en de grondtoon C = (3/2)8 : 24
= 1,6018

De G# ligt dus iets hoger dan de Ab. Het verschil tussen beide tonen vinden we als de verhouding
1,6018 / 1,5802 =
1,01367 en is dus gelijk aan het komma van Pythagoras (iets meer dan 1/9 van een hele toon).
Speel je b.v muziek in de toonaarden Eb groot of c (do klein) dan moet je eigenlijk een Ab spelen.
Speel je in de toonaarden A of E dan moet je een G# spelen en dat wordt moeilijk wanneer op een klavier
voor de twee verschillende tonen slechts een toets voorzien wordt. Je hebt dan 3 mogelijkheden:
- Ofwel maak je de keuze om slechts een van beide juist te stemmen.
- Ofwel kies je voor het midden van beide tonen en speel je ze allebei een beetje onzuiver.
- Ofwel bouw je een klavier met aparte toetsen voor de twee tonen.


Zo beschreef Michael Praetorius in 1619 het zogenaamde 'cembalo universale' met opgesplitste toetsen en ook
in historische beschrijvingen van kerkorgels is sprake van dergelijke klavieren.
 


 


Kwinten en tertsen
Het verhaal van kwinten en tertsen is een gelijkaardig verhaal.
Vanuit kwinten een breukverhouding vinden voor tertsen lijkt een eenvoudige som van breuken.
En weer is het rekenen met machten de reden dat ook dit niet lukt.

lineair model:
do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do
   0      1/12      2/12      3/12      4/12      5/12      6/12      7/12      8/12      9/12      10/12      11/12      12/12 = 1  

In de chromatische toonladder is de terts (mi) de 4e trap en de kwint (sol) de 7e.
Je vindt gemakkelijk hoe een geheel aantal kwinten kan samenvallen met een geheel aantal tertsen
door de twee schuifknoppen te verslepen.

exponentieel model:
Een reine kwint heeft een verhouding 3/2 ten opzichte van de grondtoon.
Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor  3/2.
n kwinten hebben een verhouding
(3/2)n ten opzichte van de grondtoon.

Een reine terts heeft een verhouding 5/4 ten opzichte van de grondtoon.
Rekenen we met stappen van kwinten, dan is er een exponentieel verband met groeifactor  5/4.
n tertsen hebben dus een verhouding
(5/4)n ten opzichte van de grondtoon.

Ook 5 en 3 zijn onderling ondeelbaar.
Een macht van 3 zal nooit gelijk zal zijn aan een macht van 5.
Een geheel aantal tertsen (verhouding 5/4) kan dus nooit gelijk zijn aan een geheel aantal kwinten (verhouding 3/2).

De 4 kwinten komen hoger uit dan de 7 tertsen.
Wanneer we de terts berekenen vanuit gestapelde kwinten krijgen we als verhouding (3/2)4: 4 = 81/64 = 1,2656
Een reine terts heeft als verhouding 5/4 = 1,25.
De verhouding tussen beide noemen we het
syntonische komma.

  De verhouding tussen de terts, berekend vanuit gestapelde kwinten, en de reine terts
 noemt men het syntonische komma.
81 : 5 = 81 . 4 = 81 = 1,0125   of ongeveer 1/9 van een hele toonafstand.
64 4 64 . 5 80

Met andere woorden: 4 reine kwinten = 1,0125 keer 7 reine tertsen

Een onoplosbaar probleem
Pythagoras, die dol was op natuurlijke verhoudingen, werkte van uit deze verhoudingen een toonsysteem uit.
Maar... een toonsysteem maken waarin zowel octaven, kwinten als tertsen rein klinken, blijkt onmogelijk.
Het was een mooie droom.
De getallen 2, 3 en 5 zijn onderling ondeelbaar. Machten van 3 en machten van 5 komen nooit overeen met
machten van 2. Een stapeling van kwinten of tertsen komt dus nooit overeen met een geheel aantal octaven.
De muziekgeschiedenis kan je op verschillende manieren lezen.
Een manier is het volgen van de muzikale en wiskundige zoektocht naar welluidendheid. Anders geformuleerd:
Hoe verdeel je een octaaf in de wetenschap dat terts, kwint en octaaf samen nooit rein kunnen zijn?





De reine stemming
Reeds rond 300 v.C werden alternatieven bedacht voor de stemming van Pythagoras.
De terts wordt niet meer berekend vanuit opeengestapelde kwinten maar rechtstreeks vanuit de verhouding 5/4.
Ook sext en septiem worden niet meer berekend vanuit de kwint, maar vanuit deze terts.
toontrap berekening
door kwinten en tertsen
verhouding
frequenties
frequentie
vanuit la = 440 Hz
prime (C) C 1/1 1/1 440 Hz
secunde (D)      C - G - D
2x kwint : 1 oktaaf terug
3/2 x 3/2 : 2 9/8 495 Hz
terts (E) C - E
1xterts
5/4 5/4 550 Hz
kwart (F) F - C
dalende kwint van oktaaf
2 : 3/2 4/3 587 Hz
kwint (G) C - G 3/2 3/2 660 Hz
sext (A) C - E - A
1x terts en 1x kwart
5/4 x 4/3 5/3 733 Hz
septime (B) C - E - B
1x terts en 1x kwint      
5/4 x 3/2      15/8   825 Hz 
octaaf (C) C - C 2/1 2/1 880 Hz

De breuken in de frequentieverhoudingen zijn eenvoudiger dan bij Pythagoras.
De verhoudingen van de verschillende toontrappen met als grondtoon do worden nu:

Er duiken echter nieuwe problemen op:
- Omdat A verlaagd is (want vanuit de terts berekend) en D niet, is dan de kwint D - A niet meer rein.
- Niet alle hele toonsafstanden zijn gelijk. Dat is ook logisch.
Secunde, kwart en kwint (de grijze toetsen,) zijn berekend vanuit iets te grote kwintverhoudingen.
Terts, sext en septiem (de groene toetsen) zijn berekend vanuit de iets kleinere tertsverhouding.
Resultaat is:
- Hele toonafstanden tussen toetsen van dezelfde kleur hebben een gelijke toonafstand: de verhouding 9/8.
- Volgt een groene toets (lagere tertstoon) op een grijze (hogere kwinttoon) dan is de afstand kleiner: 10/9.
We spreken daarom van grote hele tonen en kleine hele tonen
.
De verhouding tussen een grote en een kleine hele toon is gelijk aan 9/8 : 10/9 = 9/8 . 9/10 =
81/80.
Deze verhouding noemen we het syntonische komma
.
- De twee halve tonen zijn gelijk. In beide gevallen volgt een grijze toets op een groene.

De terts klinkt nu wel welluidend en rein, maar dat alle hele tonen niet gelijk zijn, heeft verstrekkende gevolgen.
Want hoe groot zijn bijvoorbeeld de toonafstanden sol-la en la-si?

in toonaard van C:     do re mi fa sol   la   si do  
1 2 3 4 5   6   7 8  
            klein   groot     De afstand sol - la is een kleine hele noot.     
De afstand la - si is een grote hele noot
in toonaard van G:     sol   la   si do re mi fa sol  
1   2   3 4 4 6 7 8  
    groot   klein     De afstand sol - la is een grote hele noot.     
De afstand la - si is een kleine hele noot

In de reine toonladder is de afstand tussen twee tonen dus afhankelijk van de toonladder.
Stem je een instrument in de toonaard van C en speel je hierop muziek in andere toonaarden, dan zullen
de onderlinge verhoudingen heel anders liggen en zal de muziek afschuwelijk vals klinken.
Een ander probleem vormen de tussenliggende halve tonen (de zwarte toetsen op de piano).
De verhoudingen van deze tonen berekent men door in kwinten en tertsen verder te rekenen vanuit de
andere stamtonen.
Rekent men vanuit stijgende kwinten, dan verschijnen de kruisen (verhogingsteken #).
Rekent men vanuit dalende kwinten dan verschijnen de mollen (verlagingsteken b).
En o ramp, de verlaagde toon komt iets lager uit dan het midden van de hele toon, de verhoogde toon iets hoger.
Met andere woorden: de Bb (simol) is iets lager dan de A#(lakruis).
We kunnen moeilijk klavieren maken met telkens twee zwarte toetsen tussen een hele noot.

De reine stemming vormt geen probleem zolang je binnen een toonaard blijft.
Muziek uit de middeleeuwen en de renaissance verandert daarom niet midden in een stuk en de gebruikte
toonaarden waarin gecomponeerd werd, bleven beperkt.
Blokfluitmuziek voor een instrument in do werd dan ook in do geschreven en niet in fa of la.










Vergelijking van de verschillende stemmingen
Wanneer we de verdeling van het octaaf grafisch uitzetten, zie je de verschillen tussen de stemmingen
van Pythagoras, de reine en onze hedendaagse stemming (de gelijkzwevende stemming).
De grootste verschillen zitten duidelijk in de terts, de sext en de septime.


In het onderstaande applet zie je drie mini-toetsenbordjes met enkel de witte toetsen.
Hoe hoorbaar de verschillen zijn tussen de toontrappen in de verschillende stemmingen,
kan je nagaan door te klikken op de toetsen.

 

 

naar startpagina 
naar sitemap   
sinusfuncties en geluid 
komma van Pythagoras
samenklanken  
boventonen-zwevingen
muzikale zoektocht 
barokstemmingen 
Huygens
 
in klank en beeld
Drie tonen
Pentatonische toonladder

7 stamtonen  
Een probleempje...
Kwinten en tertsen 
De reine stemming
Vergelijking