georienteerde oppervlakte wiskunde-interactief.be

Volgens onderstaande applet is de bepaalde integraal van de functie f(x) = x³ - 4x met als grenzen a = -2 en b = 2
gelijk aan 0. Toch zien we duidelijk een oppervlakte tussen de grafiek en de x-as.
En het kan nog erger...
Verander, door het punt A op de x-as naar  rechts te verslepen, de ondergrens in a = 0 .
Het resultaat van de integraal wordt nu zelfs negatief, en een negatieve oppervlakte...?
Het teken van de functiewaarden bepaalt mee het resultaat van de integraal.

We verfijnen dus onze definitie van bepaalde integraal als volgt:     b   de bepaalde integraal ∫ f(x) dx        = de georienteerde oppervlakte begrensd door:   a                   de grafiek van de functie f, de x-as en de rechten x=a en x=b.

In onze integraalberekeningen hebben we nu twee opties
 - optie 'teken is teken': netto-resultaat van positief en negatief.
  We berekenen gewoon de primitieve functie en vullen de grenzen in:
  resultaat = F(b) - F(a)
  vb.: bij winst (positief) en verlies (negatief) is het belangrijk dat + ook + blijft en - ook -.

  - optie 'absolute waarde': som van alle stukjes oppervlakte,
  We berekenen de oppervlakte van de absolute waarde van de functie.
  vb.: als we echt oppervlaktes willen berekenen, willen we dat elk stukje als iets positief meetelt.

Rekenen met absolute waarden kunnen we op twee manieren.
1. interval per interval:
- we bepalen alle nulpunten van de functie.
- met deze nulwaarden als integratiegrenzen berekenen apart de integraal van alle deelintervallen
- we maken de som van de positieve waarden, veranderen de negatieve waarden van teken
  en tellen ook deze erbij, zodat elk interval als positief wordt meegerekend.

2. rechtstreeks:
In zowel geogebra als grafische rekenapparaten is een functie absolute waarde ingebouwd.
Als functie nemen we dan niet f(x)= x³ - 4x  maar g(x) = abs(x³ - 4x).